Quadratische Funktionen

Einführung

Wenn du einen Ball wirfst, beschreibt er einen Bogen in der Luft. Wenn ein Brunnen Wasser nach oben sprüht, formt der Strahl eine bestimmte Kurve. Wenn eine Brücke einen eleganten Bogen spannt, folgt dieser Bogen einem mathematischen Prinzip. All diese Formen haben etwas gemeinsam: Sie lassen sich durch quadratische Funktionen beschreiben. Der zugehörige Graph heißt Parabel.

Quadratische Funktionen sind der nächste Schritt nach den linearen Funktionen. Während lineare Funktionen immer gerade Linien erzeugen, entstehen hier geschwungene Kurven mit einem höchsten oder tiefsten Punkt. In dieser Lektion lernst du, Parabeln zu verstehen, zu zeichnen und ihre Eigenschaften zu beschreiben.

Grundidee

Bei einer linearen Funktion wie $y = 2x$ wächst der $y$-Wert gleichmäßig: Für jeden Schritt nach rechts geht es immer gleich viel nach oben. Bei einer quadratischen Funktion wie $y = x^2$ ist das anders — die Veränderung wird immer stärker:

$x$	$y = x^2$	Zunahme
$0$	$0$	—
$1$	$1$	$+1$
$2$	$4$	$+3$
$3$	$9$	$+5$
$4$	$16$	$+7$

Die Zunahme wird bei jedem Schritt um $2$ größer. Das Wachstum beschleunigt sich. Diese Beschleunigung erzeugt die typische U-Form der Parabel.

Außerdem ist $y = x^2$ symmetrisch: $(-3)^2 = 9 = 3^2$. Die Parabel ist spiegelsymmetrisch zur $y$-Achse.

Erklärung

Die Normalform

Die Normalform einer quadratischen Funktion lautet:

$f(x) = ax^2 + bx + c$

Dabei bestimmen die Parameter:

• $a$ — die Öffnung und Streckung der Parabel
• $b$ — die horizontale Lage (zusammen mit $a$)
• $c$ — den $y$-Achsenabschnitt (der Wert bei $x = 0$)

Der Parameter $a$: Öffnung und Streckung

Der Parameter $a$ hat zwei Aufgaben:

Richtung der Öffnung:

• $a > 0$: Die Parabel öffnet sich nach oben (U-Form), der Scheitelpunkt ist der tiefste Punkt
• $a < 0$: Die Parabel öffnet sich nach unten (umgekehrte U-Form), der Scheitelpunkt ist der höchste Punkt

Breite der Parabel:

• $|a| > 1$: Die Parabel ist schmaler (gestauchter) als die Normalparabel $y = x^2$
• $|a| < 1$: Die Parabel ist breiter (gestreckter) als die Normalparabel
• $|a| = 1$: Normalparabel

Beispiele:

• $y = 2x^2$ — schmalere Parabel, nach oben offen
• $y = 0{,}5x^2$ — breitere Parabel, nach oben offen
• $y = -x^2$ — Normalparabel, nach unten offen
• $y = -3x^2$ — schmale Parabel, nach unten offen

Der Scheitelpunkt

Der Scheitelpunkt $S(x_S \mid y_S)$ ist der höchste oder tiefste Punkt der Parabel. Er ist der Wendepunkt, an dem die Kurve ihre Richtung ändert. Die Parabel ist symmetrisch zur senkrechten Linie durch den Scheitelpunkt — diese Linie heißt Symmetrieachse.

Die Scheitelpunktform

Die Scheitelpunktform macht den Scheitelpunkt direkt sichtbar:

$f(x) = a(x - d)^2 + e$

Dabei ist $S(d \mid e)$ der Scheitelpunkt.

Beispiele:

• $f(x) = (x - 3)^2 + 2$ hat den Scheitelpunkt $S(3 \mid 2)$
• $f(x) = -2(x + 1)^2 - 4$ hat den Scheitelpunkt $S(-1 \mid -4)$

Achtung: In der Formel steht $(x - d)$. Bei $f(x) = (x + 1)^2$ ist $d = -1$, denn $x + 1 = x - (-1)$.

Verschiebungen verstehen

Ausgehend von der Normalparabel $y = x^2$ mit Scheitelpunkt $S(0 \mid 0)$:

Verschiebung nach oben/unten:

$y = x^2 + e$

verschiebt die Parabel um $e$ Einheiten nach oben (wenn $e > 0$) oder unten (wenn $e < 0$).

Verschiebung nach links/rechts:

$y = (x - d)^2$

verschiebt die Parabel um $d$ Einheiten nach rechts (wenn $d > 0$) oder links (wenn $d < 0$).

Beides zusammen:

$y = (x - 3)^2 + 2$

verschiebt die Normalparabel um 3 nach rechts und 2 nach oben. Scheitelpunkt: $S(3 \mid 2)$.

Von der Normalform zur Scheitelpunktform

Um aus der Normalform $f(x) = x^2 + bx + c$ die Scheitelpunktform zu gewinnen, verwendest du die quadratische Ergänzung:

Beispiel: $f(x) = x^2 - 6x + 5$

Schritt 1 — Die Hälfte von $b$ berechnen: $\frac{-6}{2} = -3$

Schritt 2 — Das Quadrat davon addieren und subtrahieren:

$f(x) = x^2 - 6x + 9 - 9 + 5$

Schritt 3 — Den perfekten quadratischen Ausdruck zusammenfassen:

$f(x) = (x - 3)^2 - 4$

Der Scheitelpunkt ist $S(3 \mid -4)$.

Von der Scheitelpunktform zur Normalform

Einfach ausmultiplizieren:

$f(x) = 2(x - 1)^2 + 3$

$= 2(x^2 - 2x + 1) + 3$

$= 2x^2 - 4x + 2 + 3$

$= 2x^2 - 4x + 5$

Nullstellen

Die Nullstellen sind die $x$-Werte, an denen der Graph die $x$-Achse schneidet, also wo $f(x) = 0$ gilt. Dazu löst du die quadratische Gleichung $ax^2 + bx + c = 0$ — das hast du in der Lektion zu quadratischen Gleichungen gelernt.

Die Anzahl der Nullstellen hängt von der Lage der Parabel ab:

• Scheitelpunkt unterhalb der $x$-Achse und Öffnung nach oben: 2 Nullstellen
• Scheitelpunkt auf der $x$-Achse: 1 Nullstelle (die Parabel berührt die Achse)
• Scheitelpunkt oberhalb der $x$-Achse und Öffnung nach oben: keine Nullstelle

(Bei Öffnung nach unten gelten die umgekehrten Regeln.)

Beispiel aus dem Alltag

Ballwurf:

Du wirfst einen Ball senkrecht nach oben. Seine Höhe (in Metern) nach $t$ Sekunden lässt sich vereinfacht beschreiben durch:

$h(t) = -5t^2 + 20t + 1{,}5$

Das ist eine quadratische Funktion mit $a = -5$ (die Parabel öffnet sich nach unten — der Ball kommt ja wieder herunter).

Scheitelpunkt berechnen: $t_S = -\frac{20}{2 \cdot (-5)} = 2$. Also $h(2) = -5 \cdot 4 + 40 + 1{,}5 = 21{,}5$.

Der Ball erreicht nach 2 Sekunden seine maximale Höhe von 21,5 Metern.

Brückenbogen:

Ein Brückenbogen lässt sich durch $f(x) = -0{,}02x^2 + 0{,}8x$ beschreiben, wobei $x$ die horizontale Position in Metern ist. Die Scheitelpunktform zeigt die maximale Höhe:

$f(x) = -0{,}02(x^2 - 40x) = -0{,}02(x^2 - 40x + 400 - 400) = -0{,}02(x - 20)^2 + 8$

Der Bogen erreicht in der Mitte (bei $x = 20$ m) eine Höhe von 8 Metern.

Anwendung

Aufgabe 1: Bestimme den Scheitelpunkt von $f(x) = (x + 2)^2 - 5$.

Lösung: Scheitelpunktform ablesen: $d = -2$, $e = -5$. Scheitelpunkt $S(-2 \mid -5)$.

Aufgabe 2: Bringe $f(x) = x^2 + 4x + 1$ in die Scheitelpunktform.

Lösung: Quadratische Ergänzung: $f(x) = x^2 + 4x + 4 - 4 + 1 = (x + 2)^2 - 3$. Scheitelpunkt $S(-2 \mid -3)$.

Aufgabe 3: Beschreibe, wie sich $f(x) = -2(x - 1)^2 + 6$ von der Normalparabel unterscheidet.

Lösung: Die Parabel ist um den Faktor 2 gestaucht (schmaler), nach unten geöffnet, um 1 nach rechts und um 6 nach oben verschoben. Scheitelpunkt $S(1 \mid 6)$.

Aufgabe 4: Bestimme die Nullstellen von $f(x) = x^2 - 2x - 8$.

Lösung: $x^2 - 2x - 8 = 0$. pq-Formel: $x_{1,2} = 1 \pm \sqrt{1 + 8} = 1 \pm 3$. Also $x_1 = 4$ und $x_2 = -2$.

Typische Fehler

Das Vorzeichen in der Scheitelpunktform falsch ablesen: Bei $f(x) = (x + 3)^2$ ist der Scheitelpunkt $S(-3 \mid 0)$, nicht $S(3 \mid 0)$. Die Formel lautet $(x - d)^2$, also ist $d = -3$, weil $x + 3 = x - (-3)$.

Streckung und Verschiebung verwechseln: Der Faktor $a$ streckt oder staucht die Parabel, er verschiebt sie nicht. Die Verschiebung kommt allein von $d$ und $e$ in der Scheitelpunktform.

Die quadratische Ergänzung falsch durchführen: Beim Ergänzen muss das, was du addierst, auch wieder subtrahiert werden, damit sich der Funktionswert nicht ändert. Wer nur $+9$ ergänzt, ohne $-9$ dazuzuschreiben, verändert die Funktion.

Öffnungsrichtung ignorieren: Bei $a < 0$ ist der Scheitelpunkt der höchste Punkt, nicht der tiefste. Das ist entscheidend bei Optimierungsaufgaben.

Zusammenfassung

Merke dir:

• Quadratische Funktionen haben die Form $f(x) = ax^2 + bx + c$ und erzeugen Parabeln
• Der Parameter $a$ bestimmt Öffnungsrichtung ($a > 0$: oben, $a < 0$: unten) und Breite der Parabel
• Die Scheitelpunktform $f(x) = a(x - d)^2 + e$ zeigt den Scheitelpunkt $S(d \mid e)$ direkt
• Quadratische Ergänzung wandelt die Normalform in die Scheitelpunktform um
• Die Nullstellen erhältst du durch Lösen der quadratischen Gleichung $f(x) = 0$
• Parabeln beschreiben viele reale Phänomene wie Wurfbahnen, Brückenbögen und Optimierungsprobleme