Quadratische Gleichungen

Einführung

Wie groß muss ein quadratischer Garten sein, damit seine Fläche 36 Quadratmeter beträgt? Wie weit fliegt ein Ball, bevor er auf dem Boden aufkommt? Solche Fragen führen auf Gleichungen, in denen $x^2$ vorkommt — quadratische Gleichungen. Sie sind der nächste Schritt nach den linearen Gleichungen und öffnen die Tür zu einer faszinierenden Besonderheit: Eine Gleichung kann plötzlich zwei, eine oder gar keine Lösung haben.

In dieser Lektion lernst du, quadratische Gleichungen zu erkennen, sie in die richtige Form zu bringen und mit der pq-Formel zuverlässig zu lösen.

Grundidee

Bei einer linearen Gleichung wie $3x = 12$ gibt es genau eine Lösung: $x = 4$. Aber was ist mit $x^2 = 9$? Hier gibt es zwei Zahlen, die eingesetzt stimmen: $x = 3$ und $x = -3$, denn sowohl $3^2 = 9$ als auch $(-3)^2 = 9$.

Das liegt daran, dass das Quadrieren das Vorzeichen „verschluckt” — positive und negative Zahlen liefern dasselbe Ergebnis. Deshalb können quadratische Gleichungen zwei Lösungen haben. Manchmal fallen beide zusammen (eine Lösung), und manchmal gibt es gar keine reelle Lösung — zum Beispiel bei $x^2 = -4$, denn kein Quadrat einer reellen Zahl ist negativ.

Erklärung

Was ist eine quadratische Gleichung?

Eine Gleichung heißt quadratisch, wenn die höchste Potenz der Variablen $x^2$ ist. Die allgemeine Form lautet:

$ax^2 + bx + c = 0$

wobei $a \neq 0$ gilt. Die Koeffizienten $a$, $b$ und $c$ sind bekannte Zahlen.

Beispiele:

• $x^2 - 5x + 6 = 0$ (hier ist $a = 1$, $b = -5$, $c = 6$)
• $2x^2 + 3x = 0$ (hier ist $c = 0$)
• $x^2 - 16 = 0$ (hier ist $b = 0$)

Die Normalform

Für die pq-Formel bringst du die Gleichung in die Normalform, bei der der Koeffizient vor $x^2$ genau $1$ ist:

$x^2 + px + q = 0$

Falls der Koeffizient vor $x^2$ nicht $1$ ist, teilst du die gesamte Gleichung durch diesen Koeffizienten:

$2x^2 + 6x - 8 = 0 \quad | \div 2$

$x^2 + 3x - 4 = 0$

Jetzt ist $p = 3$ und $q = -4$.

Die pq-Formel

Die pq-Formel liefert die Lösungen einer quadratischen Gleichung in Normalform $x^2 + px + q = 0$:

$x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}$

Das $\pm$ bedeutet, dass du zwei Lösungen berechnest: einmal mit Plus, einmal mit Minus.

Anwendung Schritt für Schritt:

Löse $x^2 + 2x - 15 = 0$:

Ablesen: $p = 2$, $q = -15$.

Einsetzen:

$x_{1,2} = -\frac{2}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{2}{2}\right)^2 - (-15)}$

$x_{1,2} = -1 \pm \sqrt{1 + 15}$

$x_{1,2} = -1 \pm \sqrt{16}$

$x_{1,2} = -1 \pm 4$

Also: $x_1 = -1 + 4 = 3$ und $x_2 = -1 - 4 = -5$.

Probe: $3^2 + 2 \cdot 3 - 15 = 9 + 6 - 15 = 0$ und $(-5)^2 + 2 \cdot (-5) - 15 = 25 - 10 - 15 = 0$. Beide stimmen.

Die Diskriminante

Der Ausdruck unter der Wurzel in der pq-Formel heißt Diskriminante:

$D = \left(\frac{p}{2}\right)^2 - q$

Die Diskriminante entscheidet, wie viele Lösungen die Gleichung hat:

Diskriminante	Anzahl Lösungen	Bedeutung
$D > 0$	zwei Lösungen	Die Wurzel liefert zwei verschiedene Werte
$D = 0$	eine Lösung	Die Wurzel ist $0$, beide Lösungen fallen zusammen
$D < 0$	keine reelle Lösung	Unter der Wurzel steht eine negative Zahl

Beispiel für $D = 0$: $x^2 - 6x + 9 = 0$ mit $p = -6$, $q = 9$:

$D = \left(\frac{-6}{2}\right)^2 - 9 = 9 - 9 = 0$

$x = -\frac{-6}{2} = 3$

Es gibt nur die Lösung $x = 3$.

Beispiel für $D < 0$: $x^2 + 2x + 5 = 0$ mit $p = 2$, $q = 5$:

$D = 1 - 5 = -4 < 0$

Keine reelle Lösung.

Einfachere Spezialfälle

Nicht immer brauchst du die pq-Formel. Zwei Spezialfälle lassen sich schneller lösen:

Reinquadratische Gleichung ($b = 0$): $x^2 = k$

$x^2 = 25 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 5$

Gleichung ohne Absolutglied ($c = 0$): $x^2 + bx = 0$

Hier kannst du $x$ ausklammern:

$x^2 - 7x = 0 \quad \Rightarrow \quad x(x - 7) = 0$

Ein Produkt ist null, wenn mindestens ein Faktor null ist:

$x_1 = 0 \quad \text{oder} \quad x_2 = 7$

Satz von Vieta

Für die Lösungen $x_1$ und $x_2$ einer quadratischen Gleichung $x^2 + px + q = 0$ gilt:

$x_1 + x_2 = -p \qquad \text{und} \qquad x_1 \cdot x_2 = q$

Diese Beziehungen sind nützlich, um Ergebnisse schnell zu überprüfen. Im Beispiel $x^2 + 2x - 15 = 0$ mit $x_1 = 3$ und $x_2 = -5$: Die Summe ist $3 + (-5) = -2 = -p$ und das Produkt ist $3 \cdot (-5) = -15 = q$. Stimmt.

Beispiel aus dem Alltag

Flächenproblem beim Gartenumbau:

Du willst einen rechteckigen Blumengarten anlegen. Er soll 3 Meter länger als breit sein, und die Fläche soll genau 40 Quadratmeter betragen. Wie breit muss der Garten sein?

Bezeichne die Breite mit $x$ (in Metern). Dann ist die Länge $x + 3$.

Fläche: $x \cdot (x + 3) = 40$

$x^2 + 3x = 40$

$x^2 + 3x - 40 = 0$

pq-Formel mit $p = 3$, $q = -40$:

$x_{1,2} = -\frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4} + 40} = -1{,}5 \pm \sqrt{42{,}25} = -1{,}5 \pm 6{,}5$

$x_1 = 5 \qquad x_2 = -8$

Da eine Breite nicht negativ sein kann, ist $x = 5$ die einzige sinnvolle Lösung. Der Garten ist 5 Meter breit und 8 Meter lang.

Probe: $5 \cdot 8 = 40\;\text{m}^2$. Stimmt.

Bremsweg eines Autos:

Der Bremsweg (in Metern) lässt sich vereinfacht durch $s = \frac{v^2}{100}$ beschreiben, wobei $v$ die Geschwindigkeit in km/h ist. Welche Geschwindigkeit führt zu einem Bremsweg von 36 Metern?

$\frac{v^2}{100} = 36 \quad | \cdot 100$

$v^2 = 3600$

$v = \pm 60$

Die negative Lösung entfällt (Geschwindigkeit ist positiv), also $v = 60\;\text{km/h}$.

Anwendung

Aufgabe 1: Löse $x^2 - 4x - 5 = 0$ mit der pq-Formel.

Lösung: $p = -4$, $q = -5$. $D = 4 + 5 = 9$. $x_{1,2} = 2 \pm 3$. Also $x_1 = 5$ und $x_2 = -1$.

Aufgabe 2: Löse $x^2 + 6x = 0$ durch Ausklammern.

Lösung: $x(x + 6) = 0$. Also $x_1 = 0$ und $x_2 = -6$.

Aufgabe 3: Löse $2x^2 - 8x + 6 = 0$. Bringe die Gleichung zuerst in die Normalform.

Lösung: Division durch $2$: $x^2 - 4x + 3 = 0$. pq-Formel: $x_{1,2} = 2 \pm \sqrt{4 - 3} = 2 \pm 1$. Also $x_1 = 3$ und $x_2 = 1$.

Aufgabe 4: Wie viele Lösungen hat $x^2 + 4x + 7 = 0$?

Lösung: $D = 4 - 7 = -3 < 0$. Die Gleichung hat keine reelle Lösung.

Typische Fehler

Das Vorzeichen von $p$ und $q$ falsch ablesen: In $x^2 - 8x + 12 = 0$ ist $p = -8$ (nicht $+8$) und $q = +12$. Die Vorzeichen gehören zu den Koeffizienten dazu. Ein Vorzeichenfehler hier macht die gesamte Rechnung ungültig.

Die Normalform vergessen: Die pq-Formel funktioniert nur, wenn der Koeffizient vor $x^2$ genau $1$ ist. Bei $3x^2 + 6x - 9 = 0$ musst du zuerst durch $3$ teilen, bevor du die Formel anwendest.

Die negative Lösung ohne Prüfung verwerfen: Nicht jede negative Lösung ist unsinnig. Nur im Sachkontext (Längen, Zeiten, Geschwindigkeiten) fallen negative Lösungen weg. Bei rein mathematischen Gleichungen sind beide Lösungen gültig.

Die Diskriminante falsch berechnen: $\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q$ — hier wird häufig das Minus vor $q$ vergessen, besonders wenn $q$ selbst negativ ist. Aus $-(-5)$ wird dann fälschlich $-5$ statt $+5$.

Zusammenfassung

Merke dir:

• Eine quadratische Gleichung enthält $x^2$ als höchste Potenz und hat die allgemeine Form $ax^2 + bx + c = 0$
• Für die pq-Formel bringst du die Gleichung in die Normalform $x^2 + px + q = 0$ (Koeffizient vor $x^2$ muss $1$ sein)
• Die pq-Formel lautet: $x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}$
• Die Diskriminante $D = \left(\frac{p}{2}\right)^2 - q$ bestimmt die Anzahl der Lösungen: $D > 0$ ergibt zwei, $D = 0$ ergibt eine, $D < 0$ ergibt keine reelle Lösung
• Spezialfälle wie $x^2 = k$ oder $x(x + b) = 0$ lassen sich ohne pq-Formel schneller lösen
• Im Sachkontext musst du prüfen, welche Lösungen sinnvoll sind