Tangente und Schnittpunkte einer Wurzelfunktion

Aufgabenstellung

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x) = \sqrt{x - 1}$, $x \geq 1$.

• (a) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente $t$ an den Graphen von $f$ im Punkt $P(5 \mid 2)$.
• (b) Ermitteln Sie, für welche Steigungen $m$ mit $0 < m < \frac{1}{4}$ eine Gerade $y = m \cdot (x - 5) + 2$ durch $P$ genau einen weiteren Schnittpunkt mit dem Graphen von $f$ hat.

Lösungsweg

Schritt 1: Tangente bestimmen (a)

$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x - 1}}$

Steigung im Punkt $P(5 \mid 2)$:

$f'(5) = \frac{1}{2\sqrt{4}} = \frac{1}{4}$

Tangentengleichung:

$t\colon y = \frac{1}{4}(x - 5) + 2 = \frac{1}{4}x + \frac{3}{4}$

$\boxed{t\colon y = \frac{1}{4}x + \frac{3}{4}}$

Schritt 2: Schnittpunkte einer Gerade durch $P$ (b)

Gerade: $y = m(x - 5) + 2$. Gleichsetzen mit $f(x) = \sqrt{x - 1}$:

$m(x - 5) + 2 = \sqrt{x - 1}$

Substitution $u = \sqrt{x - 1}$, also $x = u^2 + 1$:

$m(u^2 + 1 - 5) + 2 = u$

$m \cdot u^2 - u + 2 - 4m = 0$

Bei $P$ gilt $u = 2$. Division durch $(u - 2)$:

$m \cdot u^2 - u + 2 - 4m = m(u - 2)(u + 2) - (u - 2) = (u - 2)\bigl(m(u + 2) - 1\bigr)$

Der zweite Schnittpunkt liegt bei $m(u + 2) - 1 = 0$:

$u = \frac{1}{m} - 2 = \frac{1 - 2m}{m}$

Schritt 3: Bedingung für einen gültigen Schnittpunkt

Es muss $u > 0$ und $u \neq 2$ gelten:

• $u > 0$: $\frac{1 - 2m}{m} > 0 \Leftrightarrow 1 - 2m > 0 \Leftrightarrow m < \frac{1}{2}$ ✓ (da $0 < m < \frac{1}{4}$)
• $u \neq 2$: $\frac{1 - 2m}{m} \neq 2 \Leftrightarrow 1 - 2m \neq 2m \Leftrightarrow m \neq \frac{1}{4}$ ✓ (da $m < \frac{1}{4}$)

$\boxed{\text{Für alle } m \text{ mit } 0 < m < \frac{1}{4} \text{ gibt es genau einen weiteren Schnittpunkt bei } x = \left(\frac{1-2m}{m}\right)^2 + 1.}$

Ergebnis

Frage	Antwort
Tangente	$t\colon y = \frac{1}{4}x + \frac{3}{4}$
Steigungen	Alle $m$ mit $0 < m < \frac{1}{4}$
2. Schnittpunkt	$x = \left(\frac{1-2m}{m}\right)^2 + 1$