Funktionenschar: Nullstellen, Extrema und Flächeninhalt

Aufgabenstellung

Teil 1: Funktionsuntersuchung

Für $k > 0$ ist die Funktionenschar $f_k$ definiert durch

$f_k(x) = \frac{1}{2k} \cdot x^2 \cdot (x - 2k)^2, \quad x \in \mathbb{R}$

• (a) Bestimmen Sie die Nullstellen von $f_k$ und zeigen Sie, dass $f_k(x) \geq 0$ für alle $x \in \mathbb{R}$ gilt. (3 BE)
• (b) Zeigen Sie, dass $f_k$ bei $x = k$ einen lokalen Hochpunkt hat, und berechnen Sie dessen $y$-Koordinate. (5 BE)
• (c) Bestimmen Sie den Abstand der beiden lokalen Tiefpunkte voneinander in Abhängigkeit von $k$. (3 BE)

Teil 2: Flächeninhalt

• (d) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die der Graph von $f_1$ mit der $x$-Achse einschließt. (6 BE)

Teil 3: Anwendung — Straßenerhebung

Das Profil einer symmetrischen Bodenschwelle auf einer Straße wird durch

$h(x) = \frac{1}{8} \cdot x^2 \cdot (x - 4)^2, \quad 0 \leq x \leq 4$

modelliert, wobei $x$ und $h(x)$ in Dezimetern gemessen werden.

• (e) Bestimmen Sie die maximale Höhe der Bodenschwelle. (3 BE)
• (f) Berechnen Sie die Querschnittsfläche der Bodenschwelle. (5 BE)

Lösungsweg

Schritt 1: Nullstellen und Nichtnegativität (a)

$f_k(x) = \frac{1}{2k} \cdot x^2 \cdot (x - 2k)^2 = 0$

Da $\frac{1}{2k} > 0$, muss $x^2 \cdot (x - 2k)^2 = 0$ gelten:

$\boxed{x_1 = 0, \quad x_2 = 2k}$

Beide sind doppelte Nullstellen (der Graph berührt die $x$-Achse).

Nichtnegativität: $f_k(x) = \frac{1}{2k} \cdot \underbrace{x^2}_{\geq 0} \cdot \underbrace{(x-2k)^2}_{\geq 0} \geq 0$ für alle $x$, da ein Produkt aus nichtnegativen Faktoren stets nichtnegativ ist. $\square$

Schritt 2: Lokaler Hochpunkt bei $x = k$ (b)

Ausmultipliziert: $f_k(x) = \frac{1}{2k}(x^4 - 4kx^3 + 4k^2x^2)$

$f_k'(x) = \frac{1}{2k}(4x^3 - 12kx^2 + 8k^2x) = \frac{2x}{k}(2x^2 - 6kx + 4k^2)$

$= \frac{2x}{k} \cdot 2(x - k)(x - 2k) = \frac{4x}{k}(x - k)(x - 2k)$

$f_k'(x) = 0$ liefert $x = 0$, $x = k$, $x = 2k$.

Vorzeichenwechsel bei $x = k$: Für $x$ knapp links von $k$: $x > 0$, $(x-k) < 0$, $(x-2k) < 0$ $\Rightarrow f_k' > 0$. Für $x$ knapp rechts von $k$: $x > 0$, $(x-k) > 0$, $(x-2k) < 0$ $\Rightarrow f_k' < 0$.

VZW von $+$ nach $-$ $\Rightarrow$ lokales Maximum bei $x = k$. $\square$

$f_k(k) = \frac{1}{2k} \cdot k^2 \cdot (k - 2k)^2 = \frac{1}{2k} \cdot k^2 \cdot k^2 = \frac{k^3}{2}$

$\boxed{H\!\left(k \;\middle|\; \frac{k^3}{2}\right)}$

Schritt 3: Abstand der Tiefpunkte (c)

Die lokalen Tiefpunkte liegen bei $x = 0$ und $x = 2k$ (beide mit $y = 0$):

$T_1(0 \mid 0), \quad T_2(2k \mid 0)$

$\boxed{\text{Abstand} = 2k}$

Schritt 4: Flächeninhalt für $k = 1$ (d)

$f_1(x) = \frac{1}{2}x^2(x - 2)^2 = \frac{1}{2}(x^4 - 4x^3 + 4x^2)$

$A = \int_0^2 f_1(x) \, dx = \frac{1}{2} \int_0^2 (x^4 - 4x^3 + 4x^2) \, dx$

$= \frac{1}{2} \left[\frac{x^5}{5} - x^4 + \frac{4x^3}{3}\right]_0^2$

$= \frac{1}{2} \left(\frac{32}{5} - 16 + \frac{32}{3}\right) = \frac{1}{2} \left(\frac{96 - 240 + 160}{15}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{16}{15} = \frac{8}{15}$

$\boxed{A = \frac{8}{15} \approx 0{,}533 \; \text{FE}}$

Schritt 5: Maximale Höhe der Bodenschwelle (e)

$h(x) = \frac{1}{8}x^2(x-4)^2 = f_2(x)$ mit $k = 2$.

Maximum bei $x = k = 2$:

$h(2) = \frac{1}{8} \cdot 4 \cdot 4 = \frac{16}{8} = 2$

$\boxed{\text{Maximale Höhe: } 2 \; \text{dm} = 20 \; \text{cm}}$

Schritt 6: Querschnittsfläche (f)

$A = \int_0^4 \frac{1}{8}x^2(x-4)^2 \, dx = \frac{1}{8}\int_0^4 (x^4 - 8x^3 + 16x^2) \, dx$

$= \frac{1}{8}\left[\frac{x^5}{5} - 2x^4 + \frac{16x^3}{3}\right]_0^4$

$= \frac{1}{8}\left(\frac{1024}{5} - 512 + \frac{1024}{3}\right) = \frac{1}{8} \cdot \frac{3072 - 7680 + 5120}{15} = \frac{1}{8} \cdot \frac{512}{15} = \frac{64}{15}$

$\boxed{A = \frac{64}{15} \approx 4{,}27 \; \text{dm}^2 \approx 427 \; \text{cm}^2}$

Schritt 7: Zusammenfassung

Frage	Antwort
Nullstellen	$x = 0$, $x = 2k$ (doppelt)
Hochpunkt	$H(k \mid \frac{k^3}{2})$
Abstand Tiefpunkte	$2k$
Fläche ($k=1$)	$\frac{8}{15} \approx 0{,}53$ FE
Max. Höhe Schwelle	$2$ dm $= 20$ cm
Querschnittsfläche	$\frac{64}{15} \approx 4{,}27$ dm²