Exponentialfunktionen

Einführung

Stell dir vor, du faltest ein Blatt Papier. Nach dem ersten Falten hast du 2 Schichten, nach dem zweiten 4, nach dem dritten 8. Beim zehnten Mal wären es schon 1024 Schichten. Beim 42. Mal — rein theoretisch — würde das gefaltete Papier bis zum Mond reichen. Was zunächst harmlos beginnt, wird unvorstellbar schnell unvorstellbar groß. Das ist exponentielles Wachstum.

Exponentialfunktionen beschreiben Prozesse, die sich ständig selbst beschleunigen: Bakterienvermehrung, Zinseszins, radioaktiver Zerfall, die Ausbreitung von Viren. Sie sind grundlegend anders als alles, was du bisher kennengelernt hast — und deshalb so wichtig.

Grundidee

Bei einer linearen Funktion kommt in jedem Schritt derselbe Betrag dazu: 3, 6, 9, 12, 15, … (immer $+3$).

Bei einer exponentiellen Funktion wird in jedem Schritt mit demselben Faktor multipliziert: 3, 6, 12, 24, 48, … (immer $\times 2$).

Der entscheidende Unterschied: Lineares Wachstum addiert, exponentielles Wachstum multipliziert. Anfangs sieht man kaum einen Unterschied, aber nach einer Weile explodiert das exponentielle Wachstum förmlich.

Ein Vergleich macht es deutlich:

Schritt	Linear ($+10$)	Exponentiell ($\times 2$)
$0$	$10$	$10$
$5$	$60$	$320$
$10$	$110$	$10\,240$
$20$	$210$	$10\,485\,760$

Nach 20 Schritten liegt der lineare Wert bei 210, der exponentielle bei über 10 Millionen.

Erklärung

Die allgemeine Form

Eine Exponentialfunktion hat die Form:

$f(x) = a \cdot b^x$

Dabei ist:

• $a$ der Anfangswert (der Funktionswert bei $x = 0$, denn $b^0 = 1$)
• $b$ die Basis oder der Wachstumsfaktor

Die Variable $x$ steht im Exponenten — das unterscheidet Exponentialfunktionen grundlegend von Potenzfunktionen wie $x^2$ oder $x^3$, bei denen die Variable in der Basis steht.

Wachstum und Zerfall

Der Wachstumsfaktor $b$ entscheidet über das Verhalten:

Wachstumsfaktor	Verhalten	Beispiel
$b > 1$	Exponentielles Wachstum	Bevölkerungszunahme
$0 < b < 1$	Exponentieller Zerfall	Radioaktiver Zerfall
$b = 1$	Konstant (keine Änderung)	Kein Wachstum

Wachstum: $f(x) = 100 \cdot 1{,}05^x$ beschreibt einen Prozess, der pro Schritt um 5 % zunimmt (Faktor $1{,}05$).

Zerfall: $f(x) = 100 \cdot 0{,}90^x$ beschreibt einen Prozess, der pro Schritt um 10 % abnimmt (Faktor $0{,}90$).

Zusammenhang zwischen Wachstumsfaktor und Wachstumsrate

Wächst eine Größe pro Zeiteinheit um $p$ Prozent, dann ist der Wachstumsfaktor:

$b = 1 + \frac{p}{100}$

Nimmt eine Größe pro Zeiteinheit um $p$ Prozent ab, dann ist:

$b = 1 - \frac{p}{100}$

Beispiele:

• 3 % Wachstum pro Jahr: $b = 1{,}03$
• 7 % Abnahme pro Jahr: $b = 0{,}93$
• Verdopplung pro Schritt: $b = 2$

Eigenschaften des Graphen

Der Graph einer Exponentialfunktion $f(x) = a \cdot b^x$ (mit $a > 0$ und $b > 0$) hat besondere Eigenschaften:

• Er schneidet die $y$-Achse immer bei $(0 \mid a)$
• Er hat keine Nullstelle — der Graph nähert sich der $x$-Achse beliebig an, berührt sie aber nie
• Die $x$-Achse ist eine Asymptote (eine Linie, der sich der Graph annähert)
• Bei Wachstum ($b > 1$) steigt der Graph nach rechts immer steiler an
• Bei Zerfall ($0 < b < 1$) fällt der Graph nach rechts und nähert sich der $x$-Achse

Die Euler’sche Zahl $e$

In der Mathematik gibt es eine besondere Basis, die in der Natur und Technik ständig auftaucht: die Euler’sche Zahl

$e \approx 2{,}71828...$

Die Zahl $e$ ist irrational (unendlich viele Nachkommastellen ohne Muster) und hat eine faszinierende Eigenschaft: Die Funktion $f(x) = e^x$ ist die einzige Exponentialfunktion, deren Steigung an jeder Stelle genau gleich ihrem Funktionswert ist. In der Analysis (Oberstufe) spielt $e$ eine zentrale Rolle.

Die natürliche Exponentialfunktion $f(x) = e^x$ wird oft auch $\exp(x)$ geschrieben.

Man kann $e$ als Grenzwert verstehen:

$e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$

Das bedeutet: Wenn du 1 Euro auf ein Konto legst und den Zins immer häufiger verzinst (monatlich, täglich, sekündlich, …), nähert sich dein Guthaben nach einem Jahr dem Wert $e$ Euro an.

Verdopplungszeit und Halbwertszeit

Verdopplungszeit: Bei exponentiellem Wachstum ist die Verdopplungszeit die Zeitspanne, nach der sich der Bestand verdoppelt hat. Eine nützliche Faustregel:

$t_{\text{Verdopplung}} \approx \frac{70}{p}$

wobei $p$ die Wachstumsrate in Prozent ist. Bei 5 % Wachstum: $t \approx \frac{70}{5} = 14$ Zeiteinheiten.

Halbwertszeit: Bei exponentiellem Zerfall ist die Halbwertszeit die Zeitspanne, nach der nur noch die Hälfte des Ausgangswerts vorhanden ist. Die gleiche Faustregel gilt:

$t_{\text{Halbierung}} \approx \frac{70}{p}$

wobei $p$ die Abnahmerate in Prozent ist.

Exponentialfunktion aufstellen

Aus Anfangswert und Wachstumsrate:

Eine Bakterienkultur startet mit 500 Bakterien und wächst pro Stunde um 20 %.

$f(t) = 500 \cdot 1{,}20^t$

Aus zwei Datenpunkten:

Gegeben: $f(0) = 200$ und $f(3) = 1600$.

Aus $f(0) = 200$ folgt $a = 200$.

Aus $f(3) = 200 \cdot b^3 = 1600$:

$b^3 = 8 \quad \Rightarrow \quad b = 2$

Also $f(t) = 200 \cdot 2^t$.

Beispiel aus dem Alltag

Zinseszins auf dem Sparkonto:

Du legst 1000 Euro auf ein Sparkonto mit 3 % Zinsen pro Jahr. Die Zinsen werden am Jahresende dem Konto gutgeschrieben und im nächsten Jahr mitverzinst.

$K(t) = 1000 \cdot 1{,}03^t$

Jahre	Kontostand
$0$	$1000{,}00$ Euro
$5$	$1000 \cdot 1{,}03^5 \approx 1159{,}27$ Euro
$10$	$1000 \cdot 1{,}03^{10} \approx 1343{,}92$ Euro
$20$	$1000 \cdot 1{,}03^{20} \approx 1806{,}11$ Euro
$50$	$1000 \cdot 1{,}03^{50} \approx 4383{,}91$ Euro

Nach 50 Jahren hat sich das Geld mehr als vervierfacht — obwohl „nur” 3 % Zinsen anfallen. Das ist die Kraft des Zinseszinses.

Verdopplungszeit: $\frac{70}{3} \approx 23$ Jahre. Tatsächlich: $1000 \cdot 1{,}03^{23} \approx 1974$ Euro — fast verdoppelt.

Radioaktiver Zerfall:

Jod-131 hat eine Halbwertszeit von 8 Tagen. Wenn zu Beginn 400 mg vorhanden sind:

$m(t) = 400 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{t/8} = 400 \cdot 0{,}5^{t/8}$

Tage	Masse
$0$	$400$ mg
$8$	$200$ mg
$16$	$100$ mg
$24$	$50$ mg
$32$	$25$ mg

Nach 32 Tagen (4 Halbwertszeiten) sind nur noch $\frac{1}{16}$ des Ausgangsmaterials übrig.

Anwendung

Aufgabe 1: Eine Bakterienkultur startet mit 1000 Bakterien und verdoppelt sich alle 3 Stunden. Wie viele Bakterien sind nach 12 Stunden vorhanden?

Lösung: In 12 Stunden finden $12 \div 3 = 4$ Verdopplungen statt. $1000 \cdot 2^4 = 1000 \cdot 16 = 16\,000$ Bakterien.

Aufgabe 2: Der Wert eines Autos sinkt jährlich um 15 %. Das Auto kostet neu 24 000 Euro. Wie viel ist es nach 5 Jahren wert?

Lösung: $W(5) = 24\,000 \cdot 0{,}85^5 = 24\,000 \cdot 0{,}4437 \approx 10\,649$ Euro.

Aufgabe 3: Eine Substanz zerfällt mit einer Rate von 10 % pro Stunde. Wie lange dauert es ungefähr, bis nur noch die Hälfte übrig ist?

Lösung: Faustregel: $t \approx \frac{70}{10} = 7$ Stunden.

Aufgabe 4: Zu Beginn eines Experiments sind 80 Zellen vorhanden. Nach 4 Stunden sind es 1280. Stelle die Exponentialfunktion auf.

Lösung: $a = 80$. $80 \cdot b^4 = 1280$, also $b^4 = 16$, also $b = 2$. Funktion: $f(t) = 80 \cdot 2^t$.

Typische Fehler

Exponentielles und lineares Wachstum verwechseln: „Jedes Jahr kommen 100 dazu” ist linear. „Jedes Jahr kommt 10 % dazu” ist exponentiell. Der entscheidende Unterschied: Bei linearem Wachstum ist die absolute Zunahme konstant, bei exponentiellem Wachstum ist die prozentuale Zunahme konstant.

Den Wachstumsfaktor falsch berechnen: 5 % Wachstum bedeutet Faktor $1{,}05$, nicht $0{,}05$ und nicht $5$. Der Faktor $0{,}05$ allein wäre nur der Zuwachs, nicht der Gesamtfaktor. Denke daran: Du behältst, was du hattest ($1$), und fügst den Zuwachs hinzu ($+0{,}05$).

Exponentielle Prognosen ins Unendliche fortschreiben: In der Realität wächst nichts ewig exponentiell. Bakterien stoßen an Ressourcengrenzen, Bevölkerungen an Kapazitätsgrenzen. Exponentialfunktionen beschreiben oft nur die Anfangsphase eines Prozesses.

Halbwertszeit als einmaligen Verlust missverstehen: Nach einer Halbwertszeit ist die Hälfte weg. Nach zwei Halbwertszeiten ist nicht alles weg, sondern nochmals die Hälfte — also noch ein Viertel übrig. Der Zerfall wird immer langsamer in absoluten Zahlen.

Zusammenfassung

Merke dir:

• Exponentialfunktionen haben die Form $f(x) = a \cdot b^x$ — die Variable steht im Exponenten
• Der Wachstumsfaktor $b > 1$ erzeugt Wachstum, $0 < b < 1$ erzeugt Zerfall
• Bei $p$ Prozent Wachstum ist $b = 1 + \frac{p}{100}$, bei $p$ Prozent Abnahme ist $b = 1 - \frac{p}{100}$
• Die Euler’sche Zahl $e \approx 2{,}718$ ist die natürliche Basis für Wachstums- und Zerfallsprozesse
• Faustregel: Verdopplungs- und Halbwertszeit $\approx \frac{70}{p}$ (mit $p$ in Prozent)
• Exponentielles Wachstum startet langsam, wird aber schnell dominant — es unterscheidet sich fundamental von linearem Wachstum