Extremstelle nachweisen und Stammfunktion erkennen

Aufgabenstellung

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 4x$, $x \in \mathbb{R}$.

• (a) Zeigen Sie, dass $f$ bei $x = -2$ eine lokale Extremstelle hat, und bestimmen Sie deren Art.
• (b) Beschreiben Sie, wie der Graph einer Stammfunktion $F$ von $f$ an der Stelle $x = -2$ aussieht, und begründen Sie Ihre Aussage.

Lösungsweg

Schritt 1: Extremstelle nachweisen (a)

$f'(x) = x^2 - 4$

Notwendige Bedingung: $f'(-2) = (-2)^2 - 4 = 4 - 4 = 0$ ✓

$f''(x) = 2x$

Hinreichende Bedingung: $f''(-2) = 2 \cdot (-2) = -4 < 0$

Da $f'(-2) = 0$ und $f''(-2) < 0$, hat $f$ bei $x = -2$ ein lokales Maximum. $\square$

$f(-2) = \frac{1}{3}(-8) - 4 \cdot (-2) = -\frac{8}{3} + 8 = \frac{16}{3} \approx 5{,}33$

$\boxed{\text{Lokales Maximum bei } \left(-2 \;\middle|\; \frac{16}{3}\right)}$

Schritt 2: Stammfunktion an der Extremstelle (b)

Da $F'(x) = f(x)$ gilt, hat der Graph von $F$ genau dort einen Wendepunkt, wo $f$ eine Extremstelle hat.

Begründung:

• $F'(-2) = f(-2) = \frac{16}{3} > 0$ — der Graph von $F$ steigt bei $x = -2$
• $F''(-2) = f'(-2) = 0$ — notwendige Bedingung für Wendepunkt
• $F'''(-2) = f''(-2) = -4 \neq 0$ — hinreichende Bedingung erfüllt

$\boxed{\text{Bei } x = -2 \text{ hat } F \text{ einen Wendepunkt. Der Graph von } F \text{ steigt dort (da } f(-2) > 0\text{).}}$

Schritt 3: Zusammenfassung

Der Zusammenhang zwischen $f$ und $F$:

• Wo $f$ ein lokales Maximum hat, hat $F$ einen Wendepunkt mit Rechts-Links-Krümmungsänderung
• Wo $f$ ein lokales Minimum hätte (bei $x = 2$), hätte $F$ einen Wendepunkt mit Links-Rechts-Krümmungsänderung
• Wo $f$ eine Nullstelle hat, hat $F$ eine Extremstelle

Ergebnis

Frage	Antwort
Extremstelle von $f$	Lokales Maximum bei $(-2 \mid \frac{16}{3})$
Graph von $F$ bei $x = -2$	Wendepunkt, $F$ steigt dort