Lineare Funktionen

Einführung

Ein Taxifahrer verlangt 3,50 Euro Grundgebühr und 1,80 Euro pro Kilometer. Wie viel kostet eine Fahrt von 12 Kilometern? Und ab welcher Strecke lohnt sich das Monatsticket für den Bus? Solche Fragen beschreiben einen Zusammenhang zwischen zwei Größen — hier zwischen Strecke und Preis. Wenn dieser Zusammenhang gleichmäßig ist, liegt eine lineare Funktion vor.

Lineare Funktionen sind die einfachsten Funktionen überhaupt und bilden das Fundament für alles, was danach kommt: quadratische Funktionen, Exponentialfunktionen und schließlich die Analysis. In dieser Lektion lernst du, sie zu verstehen, zu zeichnen und auf Alltagssituationen anzuwenden.

Grundidee

Stell dir eine Wanderung vor. Du startest am Parkplatz auf 400 Metern Höhe. Mit jedem Kilometer, den du gehst, steigst du gleichmäßig 50 Meter auf. Nach 1 km bist du auf 450 m, nach 2 km auf 500 m, nach 3 km auf 550 m.

Dieser Zusammenhang ist linear: Es gibt einen festen Startwert (400 m) und eine gleichmäßige Veränderung pro Einheit (50 m pro km). Wenn du das als Formel schreibst, erhältst du:

$\text{Höhe} = 50 \cdot \text{Kilometer} + 400$

Das ist eine lineare Funktion. Ihr Graph — die Zeichnung im Koordinatensystem — ist immer eine gerade Linie.

Erklärung

Was ist eine Funktion?

Eine Funktion ist eine Zuordnung, die jedem Eingabewert genau einen Ausgabewert zuweist. Man schreibt $f(x) = \ldots$ oder $y = \ldots$

• $x$ heißt die unabhängige Variable (die Eingabe)
• $y$ oder $f(x)$ heißt die abhängige Variable (die Ausgabe)

Beispiel: $f(x) = 2x + 3$. Wenn du $x = 4$ einsetzt, erhältst du $f(4) = 2 \cdot 4 + 3 = 11$.

Die Funktionsgleichung $y = mx + b$

Jede lineare Funktion hat die Form:

$y = mx + b$

Dabei ist:

• $m$ die Steigung — sie gibt an, um wie viel sich $y$ ändert, wenn $x$ um $1$ zunimmt
• $b$ der y-Achsenabschnitt — er gibt an, wo die Gerade die $y$-Achse schneidet (also den Wert bei $x = 0$)

Die Steigung verstehen

Die Steigung $m$ ist das Herzstück der linearen Funktion. Sie beschreibt die Änderungsrate:

$m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Das heißt: Steigung = Änderung in $y$ geteilt durch Änderung in $x$.

Steigung	Bedeutung	Graph
$m > 0$	Die Gerade steigt (von links nach rechts)	aufsteigend
$m < 0$	Die Gerade fällt	absteigend
$m = 0$	Die Gerade ist horizontal	waagerecht
$m = 1$	Pro Einheit nach rechts geht es 1 nach oben	45°-Winkel
$m = 2$	Pro Einheit nach rechts geht es 2 nach oben	steilerer Anstieg

Anschaulich: Gehe im Graphen 1 Einheit nach rechts. Die Steigung sagt dir, wie viele Einheiten du nach oben (positives $m$) oder unten (negatives $m$) gehen musst.

Den y-Achsenabschnitt ablesen

Der y-Achsenabschnitt $b$ ist der $y$-Wert an der Stelle $x = 0$. Im Graphen ist das der Punkt, an dem die Gerade die senkrechte Achse kreuzt.

Bei $y = 3x + 2$ ist $b = 2$: Die Gerade geht durch den Punkt $(0 \mid 2)$.

Eine Gerade zeichnen

Um eine lineare Funktion zu zeichnen, brauchst du nur zwei Punkte:

Methode 1 — Wertetabelle:

Für $y = 2x - 1$:

$x$	$y$
$0$	$-1$
$1$	$1$
$2$	$3$
$3$	$5$

Trage die Punkte ein und verbinde sie mit einer Geraden.

Methode 2 — y-Achsenabschnitt und Steigung:

1. Markiere den y-Achsenabschnitt $b$ auf der $y$-Achse: Punkt $(0 \mid -1)$
2. Gehe von dort 1 nach rechts und $m$ nach oben: Punkt $(1 \mid 1)$
3. Verbinde die Punkte

Die Steigung aus zwei Punkten berechnen

Gegeben sind die Punkte $P(1 \mid 3)$ und $Q(4 \mid 9)$. Die Steigung ist:

$m = \frac{9 - 3}{4 - 1} = \frac{6}{3} = 2$

Die Funktionsgleichung bestimmen

Aus Steigung und einem Punkt:

Gegeben: $m = 3$ und der Punkt $P(2 \mid 11)$.

Einsetzen in $y = mx + b$:

$11 = 3 \cdot 2 + b \quad \Rightarrow \quad b = 5$

Die Gleichung lautet $y = 3x + 5$.

Aus zwei Punkten:

Gegeben: $P(1 \mid 4)$ und $Q(3 \mid 10)$.

1. Steigung berechnen: $m = \frac{10 - 4}{3 - 1} = 3$
2. $b$ bestimmen: $4 = 3 \cdot 1 + b \;\Rightarrow\; b = 1$
3. Gleichung: $y = 3x + 1$

Proportionale Funktionen

Ein Sonderfall sind proportionale Funktionen mit $b = 0$:

$y = mx$

Ihr Graph geht immer durch den Ursprung $(0 \mid 0)$. Beispiel: Wenn 1 kg Äpfel 2,50 Euro kostet, dann kosten $x$ Kilogramm $y = 2{,}50x$ Euro.

Schnittpunkt zweier Geraden

Zwei lineare Funktionen $f(x) = m_1 x + b_1$ und $g(x) = m_2 x + b_2$ schneiden sich dort, wo ihre $y$-Werte gleich sind:

$m_1 x + b_1 = m_2 x + b_2$

Das ist eine lineare Gleichung, die du bereits lösen kannst.

Beispiel aus dem Alltag

Handyvertrag vs. Prepaid:

Vertrag: 12 Euro monatliche Grundgebühr, dafür kostet jede SMS nur 0,05 Euro. Prepaid: Keine Grundgebühr, aber jede SMS kostet 0,15 Euro.

Kosten als Funktionen (mit $x$ = Anzahl der SMS pro Monat):

$f(x) = 0{,}05x + 12 \qquad g(x) = 0{,}15x$

Ab wann lohnt sich der Vertrag? Setze gleich:

$0{,}05x + 12 = 0{,}15x$

$12 = 0{,}10x$

$x = 120$

Bei 120 SMS sind die Kosten gleich (18 Euro). Wer mehr als 120 SMS schreibt, fährt mit dem Vertrag günstiger.

Wasser in einer Badewanne:

Eine Badewanne enthält 150 Liter Wasser. Du ziehst den Stöpsel und es fließen pro Minute 10 Liter ab. Der Wasserstand als Funktion der Zeit:

$f(t) = -10t + 150$

Die Steigung $m = -10$ ist negativ, weil das Wasser abnimmt. Nach $t = 0$ sind es 150 Liter, nach $t = 5$ noch 100 Liter, nach $t = 15$ ist die Wanne leer.

Anwendung

Aufgabe 1: Bestimme Steigung und y-Achsenabschnitt von $y = -4x + 7$.

Lösung: Steigung $m = -4$ (die Gerade fällt), y-Achsenabschnitt $b = 7$.

Aufgabe 2: Berechne die Steigung der Geraden durch $P(2 \mid 5)$ und $Q(6 \mid 13)$.

Lösung: $m = \frac{13 - 5}{6 - 2} = \frac{8}{4} = 2$.

Aufgabe 3: Stelle die Funktionsgleichung auf, die durch $P(1 \mid 7)$ geht und die Steigung $m = 3$ hat.

Lösung: $7 = 3 \cdot 1 + b \;\Rightarrow\; b = 4$. Also $y = 3x + 4$.

Aufgabe 4: Wo schneiden sich $f(x) = 2x + 1$ und $g(x) = -x + 10$?

Lösung: $2x + 1 = -x + 10 \;\Rightarrow\; 3x = 9 \;\Rightarrow\; x = 3$. Einsetzen: $y = 2 \cdot 3 + 1 = 7$. Schnittpunkt: $(3 \mid 7)$.

Typische Fehler

Steigung und y-Achsenabschnitt vertauschen: Bei $y = 3 + 2x$ ist die Steigung $m = 2$ und der y-Achsenabschnitt $b = 3$ — nicht umgekehrt. Die Steigung steht immer bei der Variablen $x$, nicht bei der alleinstehenden Zahl.

Die Steigung als absoluten Wert statt als Verhältnis berechnen: Die Steigung ist nicht einfach „wie steil es aussieht”, sondern das exakte Verhältnis $\frac{\Delta y}{\Delta x}$. Wer nur $\Delta y$ abliest und $\Delta x$ vergisst, bekommt einen falschen Wert.

Negative Steigungen falsch interpretieren: Eine negative Steigung wie $m = -2$ bedeutet, dass die Gerade fällt — nicht, dass sie nach links zeigt. Pro Einheit nach rechts geht es 2 Einheiten nach unten.

Beim Ablesen vom Graphen die Achsenskalierung ignorieren: Wenn die $x$-Achse in Zweierschritten skaliert ist, entspricht ein Kästchen nicht einer Einheit, sondern zwei. Die Steigung muss immer mit den tatsächlichen Werten berechnet werden.

Zusammenfassung

Merke dir:

• Eine lineare Funktion hat die Form $y = mx + b$, ihr Graph ist eine Gerade
• Die Steigung $m$ gibt die Änderungsrate an: wie stark sich $y$ ändert, wenn $x$ um $1$ zunimmt
• Der y-Achsenabschnitt $b$ ist der Funktionswert an der Stelle $x = 0$
• Zum Zeichnen reichen zwei Punkte oder der y-Achsenabschnitt plus ein Steigungsdreieck
• Proportionale Funktionen ($y = mx$) gehen immer durch den Ursprung
• Der Schnittpunkt zweier Geraden ergibt sich durch Gleichsetzen der Funktionsgleichungen