Sinusfunktion: Modellierung einer Solaranlage

Aufgabenstellung

Die Leistung einer Photovoltaik-Anlage (in kW) wird an einem Sommertag durch die Funktion

$P(t) = 3{,}2 \cdot \sin\!\left(\frac{\pi}{14} \cdot (t - 5)\right) + 0{,}8, \quad 5 \leq t \leq 19$

modelliert, wobei $t$ die Uhrzeit in Stunden ist (z.B. $t = 12$ für $12{:}00$ Uhr).

• (a) Bestimmen Sie den Zeitpunkt der maximalen Leistung und den zugehörigen Wert. (3 BE)
• (b) Ab welcher Leistung lohnt sich die Einspeisung ins Netz? Angenommen, die Einspeiseschwelle beträgt $2{,}0 \; \text{kW}$. Ermitteln Sie das Zeitintervall, in dem eingespeist werden kann. (5 BE)
• (c) Berechnen Sie die gesamte Energieproduktion (in kWh) des Tages, also $\displaystyle\int_5^{19} P(t) \, dt$. (4 BE)
• (d) Ein Haushalt verbraucht konstant $1{,}5 \; \text{kW}$. Bestimmen Sie den Zeitraum, in dem die Anlage mehr produziert als der Haushalt verbraucht. (3 BE)

Lösungsweg

Schritt 1: Maximum (a)

$\sin(\cdot)$ hat sein Maximum bei $1$, also:

$\frac{\pi}{14}(t - 5) = \frac{\pi}{2} \quad \Rightarrow \quad t - 5 = 7 \quad \Rightarrow \quad t = 12$

$P(12) = 3{,}2 \cdot 1 + 0{,}8 = 4{,}0$

$\boxed{\text{Maximale Leistung: } 4{,}0 \; \text{kW um } 12{:}00 \text{ Uhr}}$

Schritt 2: Einspeisezeitraum (b)

$P(t) \geq 2{,}0$:

$3{,}2 \cdot \sin\!\left(\frac{\pi}{14}(t-5)\right) + 0{,}8 \geq 2{,}0$

$\sin\!\left(\frac{\pi}{14}(t-5)\right) \geq \frac{1{,}2}{3{,}2} = 0{,}375$

$\frac{\pi}{14}(t-5) \geq \arcsin(0{,}375) \approx 0{,}3844$

$t - 5 \geq \frac{14 \cdot 0{,}3844}{\pi} \approx 1{,}713 \quad \Rightarrow \quad t_1 \approx 6{,}71$

Zweite Lösung (absteigender Ast):

$\frac{\pi}{14}(t-5) \leq \pi - 0{,}3844 \approx 2{,}757$

$t - 5 \leq \frac{14 \cdot 2{,}757}{\pi} \approx 12{,}287 \quad \Rightarrow \quad t_2 \approx 17{,}29$

$\boxed{\text{Einspeisung möglich von ca. } 6{:}43 \text{ bis } 17{:}17 \text{ Uhr} \approx 10{,}6 \text{ Stunden}}$

Schritt 3: Gesamte Energieproduktion (c)

$\int_5^{19} P(t) \, dt = \int_5^{19} \left(3{,}2 \cdot \sin\!\left(\frac{\pi}{14}(t-5)\right) + 0{,}8\right) dt$

Substitution: $u = \frac{\pi}{14}(t-5)$, $du = \frac{\pi}{14} dt$, $dt = \frac{14}{\pi} du$

Grenzen: $t = 5 \Rightarrow u = 0$, $t = 19 \Rightarrow u = \pi$

$= \int_0^{\pi} \left(3{,}2 \sin(u) + 0{,}8\right) \cdot \frac{14}{\pi} \, du$

$= \frac{14}{\pi}\left[-3{,}2\cos(u) + 0{,}8u\right]_0^{\pi}$

$= \frac{14}{\pi}\left[(-3{,}2 \cdot (-1) + 0{,}8\pi) - (-3{,}2 \cdot 1 + 0)\right]$

$= \frac{14}{\pi}\left[3{,}2 + 0{,}8\pi + 3{,}2\right] = \frac{14}{\pi}(6{,}4 + 0{,}8\pi)$

$= \frac{14 \cdot 6{,}4}{\pi} + 14 \cdot 0{,}8 = \frac{89{,}6}{\pi} + 11{,}2 \approx 28{,}52 + 11{,}2$

$\boxed{\int_5^{19} P(t) \, dt \approx 39{,}7 \; \text{kWh}}$

Schritt 4: Überschusszeitraum (d)

$P(t) > 1{,}5$:

$3{,}2 \cdot \sin\!\left(\frac{\pi}{14}(t-5)\right) + 0{,}8 > 1{,}5$

$\sin\!\left(\frac{\pi}{14}(t-5)\right) > \frac{0{,}7}{3{,}2} \approx 0{,}2188$

$\frac{\pi}{14}(t-5) > \arcsin(0{,}2188) \approx 0{,}2208$

$t_1 > 5 + \frac{14 \cdot 0{,}2208}{\pi} \approx 5{,}98$

Zweite Grenze: $t_2 \approx 5 + \frac{14(π - 0{,}2208)}{\pi} \approx 18{,}02$

$\boxed{\text{Überschuss von ca. } 6{:}00 \text{ bis } 18{:}00 \text{ Uhr} \approx 12 \text{ Stunden}}$

Ergebnis

Frage	Antwort
Maximale Leistung	$4{,}0$ kW um $12{:}00$ Uhr
Einspeisezeitraum	ca. $6{:}43$ bis $17{:}17$ Uhr
Gesamtenergie	$\approx 39{,}7$ kWh
Überschuss über $1{,}5$ kW	ca. $6{:}00$ bis $18{:}00$ Uhr