Umkehrfunktion und Symmetrie bei e-Funktionen

Aufgabenstellung

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x) = 4x \cdot e^{-x}$, $x \geq 0$.

• (a) Bestimmen Sie die Koordinaten des Extrempunkts von $f$ und weisen Sie nach, dass es sich um ein Maximum handelt. (4 BE)
• (b) Zeigen Sie, dass $f$ im Intervall $[0; 1]$ streng monoton steigend ist, und begründen Sie, dass $f$ dort eine Umkehrfunktion $f^{-1}$ besitzt. (3 BE)
• (c) Bestimmen Sie $\lim_{x \to \infty} f(x)$ und skizzieren Sie den Graphen von $f$ für $x \geq 0$. (3 BE)

Für $k > 0$ wird die Funktionenschar $g_k$ definiert durch $g_k(x) = -4x \cdot e^{-kx}$, $x \geq 0$.

• (d) Zeigen Sie, dass der Graph von $g_k$ durch Spiegelung des Graphen von $f_k(x) = 4x \cdot e^{-kx}$ an der $x$-Achse entsteht, und bestimmen Sie die Koordinaten des Extrempunkts von $g_k$. (5 BE)
• (e) Die Fläche zwischen dem Graphen von $f$ und der $x$-Achse im Intervall $[0; b]$ mit $b > 0$ hat den Inhalt $A(b)$. Bestimmen Sie $\lim_{b \to \infty} A(b)$. (5 BE)

Lösungsweg

Schritt 1: Extrempunkt von $f$ (a)

$f'(x) = 4 \cdot e^{-x} + 4x \cdot (-e^{-x}) = 4e^{-x}(1 - x)$

$f'(x) = 0$: Da $e^{-x} > 0$, folgt $1 - x = 0$, also $x = 1$.

Nachweis Maximum: $f''(x) = 4e^{-x}(-1) \cdot (1-x) + 4e^{-x} \cdot (-1) = 4e^{-x}(x - 2)$

$f''(1) = 4e^{-1}(1 - 2) = -4e^{-1} < 0 \quad \Rightarrow \text{Maximum}$

$f(1) = 4 \cdot 1 \cdot e^{-1} = \frac{4}{e} \approx 1{,}472$

$\boxed{H\!\left(1 \;\middle|\; \frac{4}{e}\right) \approx (1 \mid 1{,}47) \text{ ist ein Maximum.}}$

Schritt 2: Monotonie und Umkehrfunktion (b)

Für $x \in [0; 1]$ gilt $1 - x \geq 0$ und $e^{-x} > 0$, also $f'(x) = 4e^{-x}(1-x) \geq 0$.

Gleichheit nur bei $x = 1$, also ist $f$ in $[0; 1]$ streng monoton steigend.

Eine streng monotone, stetige Funktion auf einem Intervall ist injektiv und besitzt daher eine Umkehrfunktion $f^{-1}\colon [0; \frac{4}{e}] \to [0; 1]$. $\square$

Schritt 3: Grenzwert (c)

$\lim_{x \to \infty} 4x \cdot e^{-x} = 0$

Begründung: Exponentielles Fallen ($e^{-x}$) dominiert lineares Wachstum ($4x$).

$\boxed{\lim_{x \to \infty} f(x) = 0}$

Skizze: Der Graph startet bei $(0 \mid 0)$, steigt zum Maximum $(1 \mid \frac{4}{e})$, fällt dann monoton gegen $0$ (nähert sich asymptotisch der $x$-Achse).

Schritt 4: Spiegelung und Extrempunkt von $g_k$ (d)

$g_k(x) = -4x \cdot e^{-kx} = -f_k(x)$

Spiegelung an der $x$-Achse: $y \to -y$, also entsteht $g_k$ aus $f_k$ durch Spiegelung an der $x$-Achse. $\square$

$f_k'(x) = 4e^{-kx}(1 - kx) = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{k}$

Da $g_k = -f_k$, hat $g_k$ bei $x = \frac{1}{k}$ ein Minimum (der Hochpunkt wird zum Tiefpunkt):

$g_k\!\left(\frac{1}{k}\right) = -4 \cdot \frac{1}{k} \cdot e^{-1} = -\frac{4}{ke}$

$\boxed{T\!\left(\frac{1}{k} \;\middle|\; -\frac{4}{ke}\right) \text{ — Tiefpunkt von } g_k}$

Schritt 5: Fläche $A(b)$ und Grenzwert (e)

Da $f(x) \geq 0$ für $x \geq 0$:

$A(b) = \int_0^b 4x \cdot e^{-x} \, dx$

Partielle Integration ($u = 4x$, $v' = e^{-x}$):

$= \bigl[-4x \cdot e^{-x}\bigr]_0^b + \int_0^b 4e^{-x} \, dx = -4be^{-b} + \bigl[-4e^{-x}\bigr]_0^b$

$= -4be^{-b} - 4e^{-b} + 4 = 4 - (4b + 4)e^{-b}$

Grenzwert:

$\lim_{b \to \infty} A(b) = 4 - \lim_{b \to \infty} (4b + 4)e^{-b} = 4 - 0 = 4$

$\boxed{\lim_{b \to \infty} A(b) = 4 \; \text{FE}}$

Ergebnis

Frage	Antwort
Maximum von $f$	$H(1 \mid \frac{4}{e}) \approx (1 \mid 1{,}47)$
Umkehrfunktion	$f^{-1}$ existiert auf $[0; 1]$
Grenzwert	$\lim_{x\to\infty} f(x) = 0$
Tiefpunkt von $g_k$	$T(\frac{1}{k} \mid -\frac{4}{ke})$
Gesamtfläche	$\lim_{b\to\infty} A(b) = 4$ FE