Für k > 0 k > 0 k > 0 f k f_k f k
f k ( x ) = k ⋅ x 2 ⋅ e − x , x ≥ 0 f_k(x) = k \cdot x^2 \cdot e^{-x}, \quad x \geq 0 f k ( x ) = k ⋅ x 2 ⋅ e − x , x ≥ 0
(a) Zeigen Sie, dass f k f_k f k x = 0 x = 0 x = 0 lim x → ∞ f k ( x ) \lim_{x \to \infty} f_k(x) lim x → ∞ f k ( x ) (3 BE) (b) Bestimmen Sie die Koordinaten des Hochpunkts und des Wendepunkts von f k f_k f k k k k (6 BE) (c) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die der Graph von f 1 f_1 f 1 [ 0 ; 4 ] [0; 4] [ 0 ; 4 ] x x x (4 BE)
Die Konzentration eines Medikaments im Blut (in mg/l \text{mg/l} mg/l t t t
c ( t ) = 3 t 2 ⋅ e − t , t ≥ 0 c(t) = 3t^2 \cdot e^{-t}, \quad t \geq 0 c ( t ) = 3 t 2 ⋅ e − t , t ≥ 0
modelliert.
(d) Bestimmen Sie den Zeitpunkt der maximalen Konzentration und den zugehörigen Wert. (3 BE) (e) Das Medikament wirkt nur, wenn die Konzentration mindestens 0,8 mg/l 0{,}8 \; \text{mg/l} 0 , 8 mg/l (4 BE)
Nullstellen: f k ( x ) = k ⋅ x 2 ⋅ e − x = 0 f_k(x) = k \cdot x^2 \cdot e^{-x} = 0 f k ( x ) = k ⋅ x 2 ⋅ e − x = 0
Da k > 0 k > 0 k > 0 e − x > 0 e^{-x} > 0 e − x > 0 x x x x 2 = 0 x^2 = 0 x 2 = 0 x = 0 x = 0 x = 0
⇒ \Rightarrow ⇒ x = 0 x = 0 x = 0 □ \square □
Grenzwert: Für x → ∞ x \to \infty x → ∞ x 2 x^2 x 2 e − x e^{-x} e − x
lim x → ∞ f k ( x ) = 0 \boxed{\lim_{x \to \infty} f_k(x) = 0} x → ∞ lim f k ( x ) = 0
Mit der Produktregel (u = k ⋅ x 2 u = k \cdot x^2 u = k ⋅ x 2 v = e − x v = e^{-x} v = e − x
f k ′ ( x ) = 2 k x ⋅ e − x + k x 2 ⋅ ( − e − x ) = k x ⋅ e − x ⋅ ( 2 − x ) f_k'(x) = 2kx \cdot e^{-x} + kx^2 \cdot (-e^{-x}) = kx \cdot e^{-x} \cdot (2 - x) f k ′ ( x ) = 2 k x ⋅ e − x + k x 2 ⋅ ( − e − x ) = k x ⋅ e − x ⋅ ( 2 − x )
f k ′ ( x ) = k x ( 2 − x ) ⋅ e − x \boxed{f_k'(x) = kx(2 - x) \cdot e^{-x}} f k ′ ( x ) = k x ( 2 − x ) ⋅ e − x
f k ′ ( x ) = 0 f_k'(x) = 0 f k ′ ( x ) = 0 k > 0 k > 0 k > 0 e − x > 0 e^{-x} > 0 e − x > 0
x = 0 oder x = 2 x = 0 \quad \text{oder} \quad x = 2 x = 0 oder x = 2
Bei x = 0 x = 0 x = 0 f k f_k f k
Bei x = 2 x = 2 x = 2 f k ′ f_k' f k ′ + + + − - − ⇒ \Rightarrow ⇒ Hochpunkt .
f k ( 2 ) = k ⋅ 4 ⋅ e − 2 = 4 k ⋅ e − 2 f_k(2) = k \cdot 4 \cdot e^{-2} = 4k \cdot e^{-2} f k ( 2 ) = k ⋅ 4 ⋅ e − 2 = 4 k ⋅ e − 2
H ( 2 | 4 k e − 2 ) ≈ ( 2 | 0,541 k ) \boxed{H\!\left(2 \;\middle|\; 4ke^{-2}\right) \approx \left(2 \;\middle|\; 0{,}541k\right)} H ( 2 4 k e − 2 ) ≈ ( 2 ∣ 0 , 541 k )
Zweite Ableitung mit Produktregel auf f k ′ ( x ) = k ( 2 x − x 2 ) ⋅ e − x f_k'(x) = k(2x - x^2) \cdot e^{-x} f k ′ ( x ) = k ( 2 x − x 2 ) ⋅ e − x
f k ′ ′ ( x ) = k ( 2 − 2 x ) ⋅ e − x + k ( 2 x − x 2 ) ⋅ ( − e − x ) f_k''(x) = k(2 - 2x) \cdot e^{-x} + k(2x - x^2) \cdot (-e^{-x}) f k ′′ ( x ) = k ( 2 − 2 x ) ⋅ e − x + k ( 2 x − x 2 ) ⋅ ( − e − x )
f k ′ ′ ( x ) = k ⋅ e − x ⋅ ( 2 − 2 x − 2 x + x 2 ) = k ⋅ e − x ⋅ ( x 2 − 4 x + 2 ) f_k''(x) = k \cdot e^{-x} \cdot \bigl(2 - 2x - 2x + x^2\bigr) = k \cdot e^{-x} \cdot (x^2 - 4x + 2) f k ′′ ( x ) = k ⋅ e − x ⋅ ( 2 − 2 x − 2 x + x 2 ) = k ⋅ e − x ⋅ ( x 2 − 4 x + 2 )
f k ′ ′ ( x ) = 0 f_k''(x) = 0 f k ′′ ( x ) = 0
x 2 − 4 x + 2 = 0 ⇒ x = 2 ± 2 x^2 - 4x + 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 2 \pm \sqrt{2} x 2 − 4 x + 2 = 0 ⇒ x = 2 ± 2
Da x ≥ 0 x \geq 0 x ≥ 0 x 1 = 2 − 2 ≈ 0,586 x_1 = 2 - \sqrt{2} \approx 0{,}586 x 1 = 2 − 2 ≈ 0 , 586 x 2 = 2 + 2 ≈ 3,414 x_2 = 2 + \sqrt{2} \approx 3{,}414 x 2 = 2 + 2 ≈ 3 , 414
Wendepunkt mit größerem y y y x 2 = 2 + 2 x_2 = 2 + \sqrt{2} x 2 = 2 + 2
f k ( 2 + 2 ) = k ( 2 + 2 ) 2 ⋅ e − ( 2 + 2 ) = k ( 6 + 4 2 ) ⋅ e − ( 2 + 2 ) f_k(2 + \sqrt{2}) = k(2 + \sqrt{2})^2 \cdot e^{-(2+\sqrt{2})} = k(6 + 4\sqrt{2}) \cdot e^{-(2+\sqrt{2})} f k ( 2 + 2 ) = k ( 2 + 2 ) 2 ⋅ e − ( 2 + 2 ) = k ( 6 + 4 2 ) ⋅ e − ( 2 + 2 )
W 1 ( 2 − 2 | k ( 6 − 4 2 ) e − ( 2 − 2 ) ) , W 2 ( 2 + 2 | k ( 6 + 4 2 ) e − ( 2 + 2 ) ) \boxed{W_1\!\left(2 - \sqrt{2} \;\middle|\; k(6 - 4\sqrt{2})e^{-(2-\sqrt{2})}\right), \quad W_2\!\left(2 + \sqrt{2} \;\middle|\; k(6 + 4\sqrt{2})e^{-(2+\sqrt{2})}\right)} W 1 ( 2 − 2 k ( 6 − 4 2 ) e − ( 2 − 2 ) ) , W 2 ( 2 + 2 k ( 6 + 4 2 ) e − ( 2 + 2 ) )
A = ∫ 0 4 x 2 ⋅ e − x d x A = \int_0^4 x^2 \cdot e^{-x} \, dx A = ∫ 0 4 x 2 ⋅ e − x d x
Zweimalige partielle Integration:
∫ x 2 e − x d x = − x 2 e − x + 2 ∫ x e − x d x \int x^2 e^{-x} \, dx = -x^2 e^{-x} + 2\int x e^{-x} \, dx ∫ x 2 e − x d x = − x 2 e − x + 2 ∫ x e − x d x
= − x 2 e − x + 2 ( − x e − x + ∫ e − x d x ) = − x 2 e − x − 2 x e − x − 2 e − x = -x^2 e^{-x} + 2\left(-x e^{-x} + \int e^{-x} \, dx\right) = -x^2 e^{-x} - 2x e^{-x} - 2e^{-x} = − x 2 e − x + 2 ( − x e − x + ∫ e − x d x ) = − x 2 e − x − 2 x e − x − 2 e − x
= − ( x 2 + 2 x + 2 ) ⋅ e − x = -(x^2 + 2x + 2) \cdot e^{-x} = − ( x 2 + 2 x + 2 ) ⋅ e − x
Einsetzen der Grenzen:
A = [ − ( x 2 + 2 x + 2 ) ⋅ e − x ] 0 4 A = \left[-(x^2 + 2x + 2) \cdot e^{-x}\right]_0^4 A = [ − ( x 2 + 2 x + 2 ) ⋅ e − x ] 0 4
= − ( 16 + 8 + 2 ) ⋅ e − 4 − ( − ( 0 + 0 + 2 ) ⋅ e 0 ) = − 26 ⋅ e − 4 + 2 = -(16 + 8 + 2) \cdot e^{-4} - \left(-(0 + 0 + 2) \cdot e^{0}\right) = -26 \cdot e^{-4} + 2 = − ( 16 + 8 + 2 ) ⋅ e − 4 − ( − ( 0 + 0 + 2 ) ⋅ e 0 ) = − 26 ⋅ e − 4 + 2
A = 2 − 26 e − 4 ≈ 2 − 0,476 = 1,524 FE \boxed{A = 2 - 26e^{-4} \approx 2 - 0{,}476 = 1{,}524 \; \text{FE}} A = 2 − 26 e − 4 ≈ 2 − 0 , 476 = 1 , 524 FE
Es gilt c ( t ) = 3 t 2 ⋅ e − t = f 3 ( t ) c(t) = 3t^2 \cdot e^{-t} = f_3(t) c ( t ) = 3 t 2 ⋅ e − t = f 3 ( t ) k = 3 k = 3 k = 3
Aus Schritt 3 wissen wir: Hochpunkt bei t = 2 t = 2 t = 2
c ( 2 ) = 3 ⋅ 4 ⋅ e − 2 = 12 e − 2 ≈ 1,624 c(2) = 3 \cdot 4 \cdot e^{-2} = 12e^{-2} \approx 1{,}624 c ( 2 ) = 3 ⋅ 4 ⋅ e − 2 = 12 e − 2 ≈ 1 , 624
Maximale Konzentration: c ( 2 ) ≈ 1,62 mg/l nach 2 Stunden \boxed{\text{Maximale Konzentration: } c(2) \approx 1{,}62 \; \text{mg/l nach } 2 \text{ Stunden}} Maximale Konzentration: c ( 2 ) ≈ 1 , 62 mg/l nach 2 Stunden
Gesucht: c ( t ) ≥ 0,8 c(t) \geq 0{,}8 c ( t ) ≥ 0 , 8 3 t 2 ⋅ e − t ≥ 0,8 3t^2 \cdot e^{-t} \geq 0{,}8 3 t 2 ⋅ e − t ≥ 0 , 8
Dies ist analytisch nicht exakt lösbar. Numerisch (WTR):
3 t 2 ⋅ e − t = 0,8 3t^2 \cdot e^{-t} = 0{,}8 3 t 2 ⋅ e − t = 0 , 8
Lösung 1: t 1 ≈ 0,61 t_1 \approx 0{,}61 t 1 ≈ 0 , 61 ≈ 37 \approx 37 ≈ 37
Lösung 2: t 2 ≈ 4,54 t_2 \approx 4{,}54 t 2 ≈ 4 , 54 ≈ 4 \approx 4 ≈ 4 33 33 33
Das Medikament wirkt im Intervall [ 0,61 ; 4,54 ] , also ca. 3,9 Stunden. \boxed{\text{Das Medikament wirkt im Intervall } [0{,}61; \; 4{,}54], \text{ also ca. } 3{,}9 \text{ Stunden.}} Das Medikament wirkt im Intervall [ 0 , 61 ; 4 , 54 ] , also ca. 3 , 9 Stunden.
Frage Antwort Nullstelle x = 0 x = 0 x = 0 Grenzwert lim x → ∞ f k ( x ) = 0 \lim_{x \to \infty} f_k(x) = 0 lim x → ∞ f k ( x ) = 0 Hochpunkt H ( 2 ∣ 4 k e − 2 ) H(2 \mid 4ke^{-2}) H ( 2 ∣ 4 k e − 2 ) Wendepunkte x = 2 ± 2 x = 2 \pm \sqrt{2} x = 2 ± 2 Fläche (k = 1 k = 1 k = 1 [ 0 ; 4 ] [0;4] [ 0 ; 4 ] A = 2 − 26 e − 4 ≈ 1,52 A = 2 - 26e^{-4} \approx 1{,}52 A = 2 − 26 e − 4 ≈ 1 , 52 Max. Konzentration ≈ 1,62 \approx 1{,}62 ≈ 1 , 62 2 2 2 Wirksamkeitsintervall [ 0,61 ; 4,54 ] [0{,}61; \; 4{,}54] [ 0 , 61 ; 4 , 54 ] ≈ 3,9 \approx 3{,}9 ≈ 3 , 9