Funktionenschar: Symmetrie und Parameter

Aufgabenstellung

Für $a > 0$ ist die Funktionenschar $f_a$ definiert durch $f_a(x) = a \cdot x \cdot e^{-x^2}$, $x \in \mathbb{R}$.

• (a) Zeigen Sie, dass der Graph von $f_a$ für jedes $a > 0$ punktsymmetrisch zum Ursprung ist.
• (b) Bestimmen Sie $f_a'(0)$ und interpretieren Sie das Ergebnis geometrisch.

Lösungsweg

Schritt 1: Punktsymmetrie nachweisen

Zu zeigen: $f_a(-x) = -f_a(x)$ für alle $x \in \mathbb{R}$.

$f_a(-x) = a \cdot (-x) \cdot e^{-(-x)^2} = -a \cdot x \cdot e^{-x^2} = -f_a(x)$

Da $(-x)^2 = x^2$ gilt, ist die Bedingung für Punktsymmetrie zum Ursprung erfüllt. $\square$

Schritt 2: Ableitung berechnen

Mit der Produktregel ($u = a \cdot x$, $v = e^{-x^2}$) und Kettenregel ($v' = -2x \cdot e^{-x^2}$):

$f_a'(x) = a \cdot e^{-x^2} + a \cdot x \cdot (-2x) \cdot e^{-x^2}$

$f_a'(x) = a \cdot e^{-x^2} \cdot (1 - 2x^2)$

Schritt 3: Steigung bei $x = 0$

$f_a'(0) = a \cdot e^{0} \cdot (1 - 0) = a$

$\boxed{f_a'(0) = a}$

Geometrische Interpretation: Die Steigung des Graphen von $f_a$ im Ursprung beträgt genau $a$. Das heißt: Der Parameter $a$ bestimmt direkt, wie steil die Kurve durch den Ursprung verläuft. Alle Graphen der Schar gehen durch den Ursprung, haben dort aber unterschiedliche Steigungen.

Ergebnis

Frage	Antwort
Punktsymmetrie	$f_a(-x) = -f_a(x)$ ✓ (da $(-x)^2 = x^2$)
Ableitung	$f_a'(x) = a \cdot e^{-x^2} \cdot (1 - 2x^2)$
Steigung bei $x = 0$	$f_a'(0) = a$ — Parameter $a$ ist die Steigung im Ursprung