Eine Bakterienkultur startet mit N 0 = 500 N_0 = 500 N 0 = 500 verdoppelt sich alle 3 3 3 .
(a) Stelle die Wachstumsfunktion N ( t ) N(t) N ( t ) t t t (b) Berechne die Anzahl der Bakterien nach 12 12 12 24 24 24 (c) Nach wie vielen Stunden wird die Marke von 1 000 000 1\,000\,000 1 000 000
Eine radioaktive Substanz hat eine Halbwertszeit von 5 5 5 . Zu Beginn sind m 0 = 200 g m_0 = 200 \, \text{g} m 0 = 200 g
(d) Stelle die Zerfallsfunktion m ( t ) m(t) m ( t ) t t t (e) Berechne die verbleibende Masse nach 15 15 15
Die allgemeine Form für exponentielles Wachstum mit Verdopplungszeit T 2 T_2 T 2
N ( t ) = N 0 ⋅ 2 t T 2 N(t) = N_0 \cdot 2^{\frac{t}{T_2}} N ( t ) = N 0 ⋅ 2 T 2 t
Mit N 0 = 500 N_0 = 500 N 0 = 500 T 2 = 3 h T_2 = 3 \, \text{h} T 2 = 3 h
N ( t ) = 500 ⋅ 2 t 3 \boxed{N(t) = 500 \cdot 2^{\frac{t}{3}}} N ( t ) = 500 ⋅ 2 3 t
Alternative Darstellung mit der Basis e e e
N ( t ) = 500 ⋅ e k ⋅ t mit k = ln 2 3 ≈ 0,231 h − 1 N(t) = 500 \cdot e^{k \cdot t} \quad \text{mit} \quad k = \frac{\ln 2}{3} \approx 0{,}231 \, \text{h}^{-1} N ( t ) = 500 ⋅ e k ⋅ t mit k = 3 l n 2 ≈ 0 , 231 h − 1
Nach t = 12 h t = 12 \, \text{h} t = 12 h
N ( 12 ) = 500 ⋅ 2 12 3 = 500 ⋅ 2 4 = 500 ⋅ 16 N(12) = 500 \cdot 2^{\frac{12}{3}} = 500 \cdot 2^4 = 500 \cdot 16 N ( 12 ) = 500 ⋅ 2 3 12 = 500 ⋅ 2 4 = 500 ⋅ 16
N ( 12 ) = 8 000 Bakterien \boxed{N(12) = 8\,000 \text{ Bakterien}} N ( 12 ) = 8 000 Bakterien
Kontrollüberlegung: In 12 12 12 12 3 = 4 \frac{12}{3} = 4 3 12 = 4 500 → 1 000 → 2 000 → 4 000 → 8 000 500 \to 1\,000 \to 2\,000 \to 4\,000 \to 8\,000 500 → 1 000 → 2 000 → 4 000 → 8 000
Nach t = 24 h t = 24 \, \text{h} t = 24 h
N ( 24 ) = 500 ⋅ 2 24 3 = 500 ⋅ 2 8 = 500 ⋅ 256 N(24) = 500 \cdot 2^{\frac{24}{3}} = 500 \cdot 2^8 = 500 \cdot 256 N ( 24 ) = 500 ⋅ 2 3 24 = 500 ⋅ 2 8 = 500 ⋅ 256
N ( 24 ) = 128 000 Bakterien \boxed{N(24) = 128\,000 \text{ Bakterien}} N ( 24 ) = 128 000 Bakterien
Wir setzen N ( t ) = 1 000 000 N(t) = 1\,000\,000 N ( t ) = 1 000 000 t t t
1 000 000 = 500 ⋅ 2 t 3 1\,000\,000 = 500 \cdot 2^{\frac{t}{3}} 1 000 000 = 500 ⋅ 2 3 t
Durch 500 500 500
2 000 = 2 t 3 2\,000 = 2^{\frac{t}{3}} 2 000 = 2 3 t
Logarithmus zur Basis 2 2 2 ln \ln ln
log 2 ( 2 000 ) = t 3 \log_2(2\,000) = \frac{t}{3} log 2 ( 2 000 ) = 3 t
t 3 = ln ( 2 000 ) ln ( 2 ) = 7,601 0,693 ≈ 10,97 \frac{t}{3} = \frac{\ln(2\,000)}{\ln(2)} = \frac{7{,}601}{0{,}693} \approx 10{,}97 3 t = l n ( 2 ) l n ( 2 000 ) = 0 , 693 7 , 601 ≈ 10 , 97
t = 3 ⋅ 10,97 t = 3 \cdot 10{,}97 t = 3 ⋅ 10 , 97
t ≈ 32,9 h ≈ 1 Tag und 9 Stunden \boxed{t \approx 32{,}9 \, \text{h} \approx 1 \text{ Tag und } 9 \text{ Stunden}} t ≈ 32 , 9 h ≈ 1 Tag und 9 Stunden
Wachstumstabelle:
Zeit t t t Verdopplungen Bakterienanzahl 0 h 0 \, \text{h} 0 h 0 0 0 500 500 500 3 h 3 \, \text{h} 3 h 1 1 1 1 000 1\,000 1 000 6 h 6 \, \text{h} 6 h 2 2 2 2 000 2\,000 2 000 12 h 12 \, \text{h} 12 h 4 4 4 8 000 8\,000 8 000 24 h 24 \, \text{h} 24 h 8 8 8 128 000 128\,000 128 000 ≈ 33 h \approx 33 \, \text{h} ≈ 33 h ≈ 11 \approx 11 ≈ 11 ≈ 1 000 000 \approx 1\,000\,000 ≈ 1 000 000
Beim radioaktiven Zerfall halbiert sich die Masse in jeder Halbwertszeit T 1 / 2 T_{1/2} T 1/2
m ( t ) = m 0 ⋅ ( 1 2 ) t T 1 / 2 m(t) = m_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T_{1/2}}} m ( t ) = m 0 ⋅ ( 2 1 ) T 1/2 t
Mit m 0 = 200 g m_0 = 200 \, \text{g} m 0 = 200 g T 1 / 2 = 5 Jahre T_{1/2} = 5 \, \text{Jahre} T 1/2 = 5 Jahre
m ( t ) = 200 ⋅ ( 1 2 ) t 5 \boxed{m(t) = 200 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{5}}} m ( t ) = 200 ⋅ ( 2 1 ) 5 t
Alternative Darstellung:
m ( t ) = 200 ⋅ e − λ t mit λ = ln 2 5 ≈ 0,1386 a − 1 m(t) = 200 \cdot e^{-\lambda t} \quad \text{mit} \quad \lambda = \frac{\ln 2}{5} \approx 0{,}1386 \, \text{a}^{-1} m ( t ) = 200 ⋅ e − λ t mit λ = 5 l n 2 ≈ 0 , 1386 a − 1
m ( 15 ) = 200 g ⋅ ( 1 2 ) 15 5 = 200 g ⋅ ( 1 2 ) 3 m(15) = 200 \, \text{g} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{15}{5}} = 200 \, \text{g} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 m ( 15 ) = 200 g ⋅ ( 2 1 ) 5 15 = 200 g ⋅ ( 2 1 ) 3
m ( 15 ) = 200 g ⋅ 1 8 m(15) = 200 \, \text{g} \cdot \frac{1}{8} m ( 15 ) = 200 g ⋅ 8 1
m ( 15 ) = 25 g \boxed{m(15) = 25 \, \text{g}} m ( 15 ) = 25 g
Kontrollüberlegung: In 15 15 15 15 5 = 3 \frac{15}{5} = 3 5 15 = 3
200 g → 5 a 100 g → 5 a 50 g → 5 a 25 g 200 \, \text{g} \xrightarrow{5\text{a}} 100 \, \text{g} \xrightarrow{5\text{a}} 50 \, \text{g} \xrightarrow{5\text{a}} 25 \, \text{g} 200 g 5 a 100 g 5 a 50 g 5 a 25 g
Eigenschaft Exponentielles Wachstum Exponentieller Zerfall Basis a a a a > 1 a > 1 a > 1 2 2 2 0 < a < 1 0 < a < 1 0 < a < 1 1 2 \frac{1}{2} 2 1 Exponent-Vorzeichen (e e e k > 0 k > 0 k > 0 k < 0 k < 0 k < 0 − λ -\lambda − λ Kennzahl Verdopplungszeit T 2 T_2 T 2 Halbwertszeit T 1 / 2 T_{1/2} T 1/2 Graphverlauf Steigende Kurve Fallende Kurve Grenzwert für t → ∞ t \to \infty t → ∞ → ∞ \to \infty → ∞ → 0 \to 0 → 0 x x x
Gemeinsame Eigenschaft: In gleichen Zeitabschnitten ändert sich der Bestand immer um den gleichen Faktor (nicht um den gleichen Betrag — das wäre lineares Wachstum).
Frage Antwort Wachstumsfunktion N ( t ) = 500 ⋅ 2 t / 3 N(t) = 500 \cdot 2^{t/3} N ( t ) = 500 ⋅ 2 t /3 Bakterien nach 12 h 12 \, \text{h} 12 h 8 000 8\,000 8 000 Bakterien nach 24 h 24 \, \text{h} 24 h 128 000 128\,000 128 000 Zeit bis 1 000 000 1\,000\,000 1 000 000 ≈ 32,9 h \approx 32{,}9 \, \text{h} ≈ 32 , 9 h Zerfallsfunktion m ( t ) = 200 ⋅ ( 1 2 ) t / 5 m(t) = 200 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{t/5} m ( t ) = 200 ⋅ ( 2 1 ) t /5 Restmasse nach 15 15 15 25 g 25 \, \text{g} 25 g