Ableitungsregeln bei Exponentialfunktionen

Aufgabenstellung

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x) = (2x - 1) \cdot e^{-x}$, $x \in \mathbb{R}$.

• (a) Bestimmen Sie $f'(x)$ und ermitteln Sie die Koordinaten des Extrempunkts von $f$.
• (b) Begründen Sie, dass $\lim_{x \to \infty} f(x) = 0$ gilt, und geben Sie $\lim_{x \to -\infty} f(x)$ an.

Lösungsweg

Schritt 1: Ableitung mit Produktregel

Mit $u(x) = 2x - 1$, $u'(x) = 2$, $v(x) = e^{-x}$, $v'(x) = -e^{-x}$ ergibt sich:

$f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$

$f'(x) = 2 \cdot e^{-x} + (2x - 1) \cdot (-e^{-x})$

$f'(x) = e^{-x} \cdot \bigl(2 - (2x - 1)\bigr)$

$\boxed{f'(x) = (3 - 2x) \cdot e^{-x}}$

Schritt 2: Extremstelle bestimmen

Notwendige Bedingung: $f'(x) = 0$

Da $e^{-x} > 0$ für alle $x$, gilt:

$3 - 2x = 0 \quad \Longrightarrow \quad x = 1{,}5$

Vorzeichenwechsel: Für $x < 1{,}5$ ist $f'(x) > 0$ (steigend), für $x > 1{,}5$ ist $f'(x) < 0$ (fallend).

Also liegt bei $x = 1{,}5$ ein Maximum vor.

$f(1{,}5) = (2 \cdot 1{,}5 - 1) \cdot e^{-1{,}5} = 2 \cdot e^{-1{,}5} \approx 0{,}4463$

$\boxed{\text{Hochpunkt } H(1{,}5 \mid 2 \cdot e^{-1{,}5}) \approx H(1{,}5 \mid 0{,}45)}$

Schritt 3: Grenzwerte

Für $x \to \infty$: Der Faktor $e^{-x}$ fällt exponentiell gegen $0$, während $(2x - 1)$ nur linear wächst. Exponentielles Fallen dominiert lineares Wachstum, daher:

$\boxed{\lim_{x \to \infty} f(x) = 0}$

Für $x \to -\infty$: Es gilt $e^{-x} \to \infty$ und $(2x - 1) \to -\infty$. Das Produkt strebt gegen $-\infty$:

$\boxed{\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty}$

Ergebnis

Frage	Antwort
Ableitung	$f'(x) = (3 - 2x) \cdot e^{-x}$
Extrempunkt	Hochpunkt $H(1{,}5 \mid 2e^{-1{,}5}) \approx (1{,}5 \mid 0{,}45)$
$\lim_{x \to \infty} f(x)$	$0$
$\lim_{x \to -\infty} f(x)$	$-\infty$