Lineare Gleichungen lösen

Einführung

„Wenn ich noch 15 Euro dazulege, habe ich doppelt so viel wie mein Bruder.” Solche Aussagen stecken voller versteckter Mathematik. Um sie zu knacken, brauchst du Gleichungen. Lineare Gleichungen sind die einfachste und zugleich wichtigste Art von Gleichungen — sie begegnen dir in der Physik, in der Wirtschaft und im Alltag.

In dieser Lektion lernst du, wie du lineare Gleichungen systematisch löst, welche Umformungen erlaubt sind und wie du Textaufgaben in Gleichungen übersetzt.

Grundidee

Stell dir eine altmodische Balkenwaage vor. Auf beiden Seiten liegen Gewichte, und die Waage ist im Gleichgewicht. Wenn du auf einer Seite etwas hinzufügst, kippt sie — es sei denn, du fügst auf der anderen Seite genau dasselbe hinzu.

Genau so funktioniert eine Gleichung: Links und rechts vom Gleichheitszeichen steht der gleiche Wert. Du darfst auf beiden Seiten dieselbe Operation durchführen, ohne das Gleichgewicht zu stören. So isolierst du Schritt für Schritt die Unbekannte — bis du ihren Wert abgelesen hast.

Erklärung

Was ist eine lineare Gleichung?

Eine lineare Gleichung ist eine Gleichung, in der die Variable $x$ nur in der ersten Potenz vorkommt — also als $x$ , nicht als $x^2$ oder $x^3$ . Die allgemeine Form lautet:

$ax + b = c$

wobei $a$ , $b$ und $c$ bekannte Zahlen sind und $a \neq 0$ gilt.

Beispiele für lineare Gleichungen:

$3x + 5 = 20$
$2x - 7 = x + 1$
$\frac{x}{4} = 3$

Äquivalenzumformungen

Eine Äquivalenzumformung ist eine Umformung, die die Lösungsmenge einer Gleichung nicht verändert. Du darfst auf beiden Seiten der Gleichung:

dieselbe Zahl addieren oder subtrahieren
mit derselben Zahl multiplizieren oder durch dieselbe Zahl dividieren (aber nicht durch 0!)

Diese Umformungen werden oft mit einem senkrechten Strich und der Operation notiert:

$3x + 5 = 20 \quad | -5$

$3x = 15 \quad | \div 3$

$x = 5$

Systematisches Vorgehen

Beim Lösen einer linearen Gleichung gehst du immer in der gleichen Reihenfolge vor:

Schritt 1 — Klammern auflösen (falls vorhanden):

$2(x + 3) = 14 \quad \Rightarrow \quad 2x + 6 = 14$

Schritt 2 — Variablenterme auf eine Seite bringen:

Alle Terme mit $x$ kommen auf die linke Seite, alle Zahlen auf die rechte.

$5x - 3 = 2x + 9 \quad | -2x$

$3x - 3 = 9$

Schritt 3 — Zahlenterme auf die andere Seite bringen:

$3x - 3 = 9 \quad | +3$

$3x = 12$

Schritt 4 — Durch den Koeffizienten vor $x$ teilen:

$3x = 12 \quad | \div 3$

$x = 4$

Schritt 5 — Probe machen:

Setze die Lösung in die ursprüngliche Gleichung ein:

$5 \cdot 4 - 3 = 2 \cdot 4 + 9 \quad \Rightarrow \quad 17 = 17 \quad \checkmark$

Ein ausführliches Beispiel

Löse $4(x - 2) + 3 = 2x + 7$ :

Schritt 1 — Klammern auflösen:

$4x - 8 + 3 = 2x + 7$

$4x - 5 = 2x + 7$

Schritt 2 — Variable isolieren:

$4x - 5 = 2x + 7 \quad | -2x$

$2x - 5 = 7 \quad | +5$

$2x = 12 \quad | \div 2$

$x = 6$

Schritt 3 — Probe: $4(6-2) + 3 = 16 + 3 = 19$ und $2 \cdot 6 + 7 = 19$ . Stimmt.

Gleichungen mit Brüchen

Bei Gleichungen mit Brüchen multiplizierst du am besten zuerst mit dem Hauptnenner, um die Brüche loszuwerden:

$\frac{x}{3} + 2 = \frac{x}{2} - 1 \quad | \cdot 6$

$2x + 12 = 3x - 6 \quad | -2x$

$12 = x - 6 \quad | +6$

$x = 18$

Sonderfälle

Manchmal liefert eine Gleichung kein eindeutiges Ergebnis:

Keine Lösung: $2x + 3 = 2x + 7$ führt nach Umformung zu $3 = 7$ — das ist falsch. Die Gleichung hat keine Lösung.

Unendlich viele Lösungen: $2(x + 1) = 2x + 2$ führt zu $2x + 2 = 2x + 2$ , also $0 = 0$ — das stimmt immer. Jede Zahl ist eine Lösung.

Textaufgaben in Gleichungen übersetzen

Textaufgaben erfordern, dass du die Alltagssprache in mathematische Sprache übersetzt:

Alltagssprache	Mathematisch
„eine Zahl”	$x$
„das Doppelte”	$2x$
„5 mehr als”	$x + 5$
„um 3 vermindert”	$x - 3$
„ist gleich”	$=$
„ein Drittel von”	$\frac{x}{3}$

Strategie für Textaufgaben:

Lies die Aufgabe zweimal
Bestimme die Unbekannte und nenne sie $x$
Übersetze den Text Schritt für Schritt in eine Gleichung
Löse die Gleichung
Formuliere einen Antwortsatz und prüfe, ob das Ergebnis im Kontext Sinn ergibt

Beispiel aus dem Alltag

Handytarife vergleichen:

Tarif A kostet 5 € Grundgebühr plus 0,10 € pro Minute. Tarif B kostet 2 € Grundgebühr plus 0,15 € pro Minute. Ab wie vielen Minuten ist Tarif A günstiger?

Gleichung aufstellen — bei wie vielen Minuten $x$ sind die Kosten gleich?

$5 + 0{,}10x = 2 + 0{,}15x$

Lösen:

$5 + 0{,}10x = 2 + 0{,}15x \quad | -0{,}10x$

$5 = 2 + 0{,}05x \quad | -2$

$3 = 0{,}05x \quad | \div 0{,}05$

$x = 60$

Ab 60 Minuten sind die Kosten gleich. Ab 61 Minuten ist Tarif A günstiger, weil die Kosten pro Minute geringer sind.

Altersrätsel:

„In 5 Jahren ist Maria doppelt so alt wie ihr Bruder Tim. Heute ist Maria 19 Jahre alt. Wie alt ist Tim heute?”

Variable: Tim ist heute $x$ Jahre alt.

In 5 Jahren: Maria ist $19 + 5 = 24$ , Tim ist $x + 5$ .

$24 = 2(x + 5)$

$24 = 2x + 10 \quad | -10$

$14 = 2x \quad | \div 2$

$x = 7$

Tim ist heute 7 Jahre alt. Probe: In 5 Jahren ist Maria 24 und Tim 12. Und $24 = 2 \cdot 12$ . Stimmt.

Anwendung

Aufgabe 1: Löse die Gleichung $5x - 8 = 2x + 7$ .

Lösung: $5x - 8 = 2x + 7 \;|\; -2x \;\Rightarrow\; 3x - 8 = 7 \;|\; +8 \;\Rightarrow\; 3x = 15 \;|\; \div 3 \;\Rightarrow\; x = 5$ .

Aufgabe 2: Löse $3(x + 2) - 4 = 2(x - 1) + 10$ .

Lösung: Klammern auflösen: $3x + 6 - 4 = 2x - 2 + 10$ , also $3x + 2 = 2x + 8$ . Dann: $x = 6$ .

Aufgabe 3: Die Summe aus dem Dreifachen einer Zahl und 7 ergibt 25. Welche Zahl ist gesucht?

Lösung: Gleichung: $3x + 7 = 25$ . Umformen: $3x = 18$ , also $x = 6$ .

Aufgabe 4: Löse $\frac{2x + 1}{3} = 5$ .

Lösung: Beide Seiten mit $3$ multiplizieren: $2x + 1 = 15$ . Dann $2x = 14$ , also $x = 7$ .

Typische Fehler

Nur auf einer Seite umformen: Die goldene Regel lautet: Was du auf einer Seite tust, musst du auch auf der anderen Seite tun. Wer auf der linken Seite $3$ subtrahiert, aber rechts vergisst, zerstört das Gleichgewicht und bekommt ein falsches Ergebnis.

Vorzeichenfehler beim Klammern auflösen: Bei $5 - 2(x - 3)$ darf nicht $5 - 2x - 6$ herauskommen. Richtig ist $5 - 2x + 6 = 11 - 2x$ , denn $-2 \cdot (-3) = +6$ .

Die Probe weglassen: Gerade bei längeren Rechnungen schleichen sich Fehler ein. Die Probe — das Einsetzen der Lösung in die Ausgangsgleichung — kostet 30 Sekunden, kann aber eine fehlerhafte Lösung entlarven.

Bei Bruchgleichungen nur einen Term multiplizieren: Wenn du beide Seiten mit dem Hauptnenner multiplizierst, muss jeder Summand auf beiden Seiten mit dem Hauptnenner multipliziert werden — nicht nur der Bruch.

Zusammenfassung

Merke dir:

Eine lineare Gleichung enthält die Variable nur in der ersten Potenz und hat die Form $ax + b = c$
Äquivalenzumformungen ändern die Lösungsmenge nicht: auf beiden Seiten dieselbe Operation durchführen
Gehe systematisch vor: Klammern auflösen, Variable isolieren, durch den Koeffizienten teilen
Mache immer eine Probe, indem du die Lösung in die Ausgangsgleichung einsetzt
Textaufgaben erfordern das Übersetzen von Alltagssprache in mathematische Gleichungen
Es gibt Sonderfälle: keine Lösung (Widerspruch) oder unendlich viele Lösungen (wahre Aussage)