Der Satz des Pythagoras - Rechnen im Dreieck

Einführung

Du willst ein Regal an die Wand schrauben und musst prüfen, ob die Ecke wirklich rechtwinklig ist. Du stehst am Rand eines Flusses und willst wissen, wie breit er ist, ohne hinüberzuschwimmen. Du planst eine Abkürzung quer über einen Platz und fragst dich, wie viel kürzer der Weg ist.

All diese Fragen lassen sich mit einem einzigen Satz lösen, der vor über 2500 Jahren formuliert wurde — dem Satz des Pythagoras. Er ist einer der berühmtesten Sätze der Mathematik und gleichzeitig einer der nützlichsten.

Grundidee

Stell dir ein Dreieck vor, das eine perfekte rechte Ecke hat — wie die Ecke eines Blattes Papier. Dieses Dreieck hat drei Seiten: zwei kürzere, die den rechten Winkel bilden, und eine längere Seite gegenüber.

Die Idee des Pythagoras ist verblüffend einfach: Wenn du auf jeder Seite ein Quadrat zeichnest, dann sind die beiden kleinen Quadrate zusammen genau so groß wie das große Quadrat. Immer. Bei jedem rechtwinkligen Dreieck.

Das heißt: Wenn du zwei Seiten kennst, kannst du die dritte berechnen. Zwei Seiten bekannt, eine gesucht — der Pythagoras liefert sie.

Erklärung

Die Teile des rechtwinkligen Dreiecks

Ein rechtwinkliges Dreieck hat einen Winkel von genau 90° — einen rechten Winkel. Die drei Seiten haben eigene Namen:

• Katheten ($a$ und $b$): Die beiden Seiten, die den rechten Winkel einschließen. Sie bilden das „L” des rechten Winkels.
• Hypotenuse ($c$): Die längste Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt. Sie ist immer die längste Seite.

Der Satz

Der Satz des Pythagoras lautet:

$a^2 + b^2 = c^2$

In Worten: Die Summe der Quadrate der beiden Katheten ist gleich dem Quadrat der Hypotenuse.

„Quadrat” meint hier: die Zahl mit sich selbst multipliziert. $a^2$ bedeutet $a \cdot a$, also die Fläche eines Quadrats mit der Seitenlänge $a$.

Die drei typischen Aufgabentypen

Hypotenuse gesucht (die längste Seite):

$c = \sqrt{a^2 + b^2}$

Kathete gesucht (eine der kürzeren Seiten):

$a = \sqrt{c^2 - b^2}$

Das funktioniert, weil du die Gleichung $a^2 + b^2 = c^2$ einfach umstellen kannst — was du von linearen Gleichungen bereits kennst.

Warum funktioniert das?

Stell dir vor, du zeichnest auf jeder Seite des Dreiecks ein Quadrat:

• Auf Kathete $a$ ein Quadrat mit der Fläche $a^2$
• Auf Kathete $b$ ein Quadrat mit der Fläche $b^2$
• Auf der Hypotenuse $c$ ein Quadrat mit der Fläche $c^2$

Der Satz sagt: Die Fläche des großen Quadrats ($c^2$) ist genau so groß wie die beiden kleinen Quadrate zusammen ($a^2 + b^2$). Man kann die kleinen Quadrate tatsächlich so zerschneiden und umlegen, dass sie das große Quadrat exakt ausfüllen. Deshalb wird der Satz des Pythagoras auch Flächensatz genannt.

Beispiel aus dem Alltag

Wie hoch reicht die Leiter?

Du lehnst eine 5 Meter lange Leiter an eine Hauswand. Der Fuß der Leiter steht 3 Meter von der Wand entfernt. Wie hoch reicht die Leiter an der Wand?

Die Situation bildet ein rechtwinkliges Dreieck: Die Wand ist senkrecht, der Boden waagerecht (das ist der rechte Winkel), und die Leiter ist die Hypotenuse.

Bekannt:

• Hypotenuse $c = 5\;\text{m}$ (die Leiter)
• Kathete $b = 3\;\text{m}$ (Abstand zum Haus)

Gesucht: Kathete $a$ (Höhe an der Wand)

$a = \sqrt{c^2 - b^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4\;\text{m}$

Die Leiter reicht 4 Meter hoch. Die Zahlen 3, 4 und 5 bilden übrigens ein berühmtes pythagoräisches Tripel — ein Dreieck, bei dem alle drei Seiten ganzzahlig sind.

Anwendung

Aufgabe: Die Diagonale des Fußballfelds

Ein Fußballfeld ist $105\;\text{m}$ lang und $68\;\text{m}$ breit. Wie lang ist die Diagonale von einer Ecke zur gegenüberliegenden?

Lösung:

Die Diagonale teilt das Rechteck in zwei rechtwinklige Dreiecke. Die Seiten des Feldes sind die Katheten, die Diagonale ist die Hypotenuse.

$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{105^2 + 68^2} = \sqrt{11025 + 4624} = \sqrt{15649} \approx 125{,}1\;\text{m}$

Die Diagonale ist etwa $125{,}1\;\text{m}$ lang.

Aufgabe: Ist das Dreieck rechtwinklig?

Ein Dreieck hat die Seiten $6\;\text{cm}$, $8\;\text{cm}$ und $10\;\text{cm}$. Ist es rechtwinklig?

Lösung:

Prüfe, ob $a^2 + b^2 = c^2$ gilt (die längste Seite muss $c$ sein):

$6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2 \checkmark$

Ja, es ist rechtwinklig. Auch 6-8-10 ist ein pythagoräisches Tripel (es ist das Doppelte von 3-4-5).

Typische Fehler

Viele denken: Der Satz gilt für alle Dreiecke.

Richtig ist: Er gilt nur für rechtwinklige Dreiecke. Bei einem Dreieck ohne rechten Winkel liefert die Formel falsche Ergebnisse. Prüfe immer zuerst, ob ein rechter Winkel vorhanden ist.

Weiterer Fehler: Die Hypotenuse mit einer Kathete verwechseln. Die Hypotenuse ist immer die längste Seite und liegt dem rechten Winkel gegenüber. Wenn du sie versehentlich als $a$ oder $b$ einsetzt, kommt Unsinn heraus — zum Beispiel eine negative Zahl unter der Wurzel.

Dritter Fehler: $a^2 + b^2 = c^2$ bedeutet nicht $a + b = c$. Die Quadrate sind entscheidend. Aus $3^2 + 4^2 = 5^2$ folgt nicht $3 + 4 = 5$. Erst quadrieren, dann addieren, dann die Wurzel ziehen.

Zusammenfassung

Merke dir:

• Der Satz des Pythagoras gilt für rechtwinklige Dreiecke: $a^2 + b^2 = c^2$
• $a$ und $b$ sind die Katheten (am rechten Winkel), $c$ ist die Hypotenuse (gegenüber, längste Seite)
• Mit zwei bekannten Seiten lässt sich die dritte berechnen
• Der Satz ist ein Flächensatz: Die Kathetenquadrate ergeben zusammen das Hypotenusenquadrat
• Pythagoräische Tripel wie 3-4-5 oder 5-12-13 sind ganzzahlige Lösungen
• Immer zuerst prüfen: Gibt es einen rechten Winkel? Ohne ihn gilt der Satz nicht