Übergangsmatrix und stationäre Verteilung

Aufgabenstellung

Ein Mobilfunkanbieter hat zwei Tarife: Basic und Premium. Monatlich wechseln:

• $20\,\%$ der Basic-Kunden zu Premium

• $10\,\%$ der Premium-Kunden zu Basic

• (a) Stellen Sie die Übergangsmatrix $M$ auf. (2 BE)

• (b) Aktuell hat der Anbieter $3000$ Basic-Kunden und $2000$ Premium-Kunden. Berechnen Sie die Verteilung nach einem Monat und nach zwei Monaten. (4 BE)

• (c) Bestimmen Sie die stationäre Verteilung (Gleichgewichtszustand). (5 BE)

• (d) Der Anbieter möchte mindestens $3500$ Premium-Kunden haben. Beurteilen Sie, ob dieses Ziel langfristig erreichbar ist. (4 BE)

Lösungsweg

Schritt 1: Übergangsmatrix (a)

$M = \begin{pmatrix} 0{,}8 & 0{,}1 \\ 0{,}2 & 0{,}9 \end{pmatrix}$

Spalte 1: Von Basic nach Basic ($0{,}8$) und nach Premium ($0{,}2$). Spalte 2: Von Premium nach Basic ($0{,}1$) und bei Premium ($0{,}9$).

Schritt 2: Verteilung nach 1 und 2 Monaten (b)

Startvektor: $\vec{v}_0 = \begin{pmatrix} 3000 \\ 2000 \end{pmatrix}$

Nach 1 Monat:

$\vec{v}_1 = M \cdot \vec{v}_0 = \begin{pmatrix} 0{,}8 \cdot 3000 + 0{,}1 \cdot 2000 \\ 0{,}2 \cdot 3000 + 0{,}9 \cdot 2000 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2600 \\ 2400 \end{pmatrix}$

Nach 2 Monaten:

$\vec{v}_2 = M \cdot \vec{v}_1 = \begin{pmatrix} 0{,}8 \cdot 2600 + 0{,}1 \cdot 2400 \\ 0{,}2 \cdot 2600 + 0{,}9 \cdot 2400 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2320 \\ 2680 \end{pmatrix}$

$\boxed{\text{Nach 1 Monat: } 2600 \text{ Basic, } 2400 \text{ Premium}}$

$\boxed{\text{Nach 2 Monaten: } 2320 \text{ Basic, } 2680 \text{ Premium}}$

Schritt 3: Stationäre Verteilung (c)

Gesucht: $\vec{v}^* = M \cdot \vec{v}^*$ mit $v_1^* + v_2^* = 5000$

$v_1^* = 0{,}8 \cdot v_1^* + 0{,}1 \cdot v_2^*$

$0{,}2 \cdot v_1^* = 0{,}1 \cdot v_2^* \quad \Rightarrow \quad v_2^* = 2 \cdot v_1^*$

Mit $v_1^* + v_2^* = 5000$:

$v_1^* + 2v_1^* = 5000 \quad \Rightarrow \quad v_1^* = \frac{5000}{3} \approx 1667$

$v_2^* = \frac{10000}{3} \approx 3333$

Als Anteile: Basic: $\frac{1}{3} \approx 33{,}3\,\%$, Premium: $\frac{2}{3} \approx 66{,}7\,\%$

$\boxed{\text{Stationäre Verteilung: } \frac{1}{3} \text{ Basic } (\approx 1667), \quad \frac{2}{3} \text{ Premium } (\approx 3333)}$

Schritt 4: Beurteilung des Ziels (d)

Die stationäre Verteilung ergibt langfristig ca. $3333$ Premium-Kunden. Das Ziel von $3500$ Premium-Kunden wird im Gleichgewicht nicht erreicht.

$3333 < 3500$

$\boxed{\text{Das Ziel ist langfristig nicht erreichbar.}}$

Mögliche Maßnahmen: Der Anbieter müsste die Wechselraten ändern — entweder den Anteil der Basic-zu-Premium-Wechsler erhöhen oder den Anteil der Premium-zu-Basic-Wechsler senken.

Wenn z.B. nur $5\,\%$ statt $10\,\%$ von Premium zu Basic wechseln: Stationär wäre $v_2^* = 4 \cdot v_1^*$, also $4000$ Premium — dann wäre das Ziel erreichbar.

Ergebnis

Frage	Antwort
Verteilung nach 1 Monat	$2600$ Basic, $2400$ Premium
Verteilung nach 2 Monaten	$2320$ Basic, $2680$ Premium
Stationäre Verteilung	$\frac{1}{3}$ Basic, $\frac{2}{3}$ Premium
Ziel $3500$ Premium	Nicht erreichbar ($3333 < 3500$)