Fortgeschritten Kurzaufgabe 5 Punkte
~15 Min.
Mathematik & Logik
Lineares Gleichungssystem mit Parameter
Zur Lektion: Lineare Gleichungen lösen
Aufgabenstellung
Gegeben ist das lineare Gleichungssystem in Abhängigkeit vom Parameter :
x + 2y - z &= 3 \\ 2x + y + z &= 6 \\ 3x + 3y + (a-1)z &= a + 8 \end{aligned}$$ - **(a)** Lösen Sie das Gleichungssystem für $a = 1$. - **(b)** Bestimmen Sie alle Werte von $a$, für die das Gleichungssystem keine Lösung hat. ## Lösungsweg ### Schritt 1: Lösung für $a = 1$ (a) Für $a = 1$: $$\begin{aligned} x + 2y - z &= 3 \\ 2x + y + z &= 6 \\ 3x + 3y + 0 \cdot z &= 9 \end{aligned}$$ Gleichung III: $3x + 3y = 9 \Rightarrow x + y = 3 \Rightarrow x = 3 - y$ Gleichung I: $(3-y) + 2y - z = 3 \Rightarrow 3 + y - z = 3 \Rightarrow z = y$ Gleichung II (Kontrolle): $2(3-y) + y + y = 6 \Rightarrow 6 = 6$ ✓ $$\boxed{\text{Für } a = 1\colon \; (x; y; z) = (3 - t;\; t;\; t), \quad t \in \mathbb{R}}$$ Das System hat unendlich viele Lösungen (eine Schar). ### Schritt 2: Gauß-Elimination allgemein (b) $$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 3 \\ 2 & 1 & 1 & 6 \\ 3 & 3 & a-1 & a+8 \end{array}\right)$$ $\text{II} - 2 \cdot \text{I}$, $\text{III} - 3 \cdot \text{I}$: $$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 3 \\ 0 & -3 & 3 & 0 \\ 0 & -3 & a+2 & a-1 \end{array}\right)$$ $\text{III} - \text{II}$: $$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 3 \\ 0 & -3 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & a-1 & a-1 \end{array}\right)$$ ### Schritt 3: Fallunterscheidung Letzte Zeile: $(a - 1) \cdot z = a - 1$ **Fall 1:** $a \neq 1$: Division durch $(a-1)$ liefert $z = 1$. Eindeutige Lösung. **Fall 2:** $a = 1$: $0 \cdot z = 0$ — unendlich viele Lösungen (wie in (a) bestätigt). In keinem Fall ergibt sich ein Widerspruch der Form $0 = c$ mit $c \neq 0$. $$\boxed{\text{Das LGS hat für kein } a \in \mathbb{R} \text{ keine Lösung.}}$$ Für $a \neq 1$ gibt es genau eine Lösung: $(x; y; z) = (2; 1; 1)$. Für $a = 1$ gibt es unendlich viele. ### Ergebnis | Frage | Antwort | |---|---| | Lösung für $a = 1$ | $(3-t;\; t;\; t)$, $t \in \mathbb{R}$ | | Keine Lösung | Für kein $a$ — stets lösbar | | Eindeutige Lösung | Für $a \neq 1$: $(2; 1; 1)$ |Schlagwörter
lgsparameterloesbarkeitlineare-algebra