Quadratische Gleichungen mit der pq-Formel

Aufgabenstellung

Löse die folgenden quadratischen Gleichungen mit Hilfe der pq-Formel und bestimme jeweils die Lösungsmenge.

• (a) $x^2 - 5x + 6 = 0$
• (b) $2x^2 + 4x - 16 = 0$
• (c) $x^2 + 6x + 9 = 0$

Hinweis: Die pq-Formel lautet für die Normalform $x^2 + px + q = 0$:

$x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}$

Der Ausdruck unter der Wurzel heißt Diskriminante: $D = \left(\frac{p}{2}\right)^2 - q$.

Lösungsweg

Schritt 1: Gleichung (a) — Zwei Lösungen

$x^2 - 5x + 6 = 0$

Die Gleichung liegt bereits in Normalform vor. Wir lesen ab: $p = -5$ und $q = 6$.

Diskriminante berechnen:

$D = \left(\frac{-5}{2}\right)^2 - 6 = \frac{25}{4} - 6 = \frac{25}{4} - \frac{24}{4} = \frac{1}{4}$

Da $D > 0$, gibt es zwei verschiedene Lösungen.

pq-Formel anwenden:

$x_{1,2} = -\frac{-5}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{5}{2} \pm \frac{1}{2}$

$x_1 = \frac{5}{2} + \frac{1}{2} = 3 \qquad x_2 = \frac{5}{2} - \frac{1}{2} = 2$

$\boxed{\mathbb{L} = \{2;\, 3\}}$

Probe: $3^2 - 5 \cdot 3 + 6 = 9 - 15 + 6 = 0$ ✓ und $2^2 - 5 \cdot 2 + 6 = 4 - 10 + 6 = 0$ ✓

Schritt 2: Gleichung (b) — Normalform herstellen

$2x^2 + 4x - 16 = 0$

Die Gleichung ist nicht in Normalform, da der Koeffizient vor $x^2$ nicht $1$ ist. Wir dividieren die gesamte Gleichung durch $2$:

$x^2 + 2x - 8 = 0$

Jetzt lesen wir ab: $p = 2$ und $q = -8$.

Diskriminante berechnen:

$D = \left(\frac{2}{2}\right)^2 - (-8) = 1 + 8 = 9$

Da $D > 0$, gibt es zwei verschiedene Lösungen.

pq-Formel anwenden:

$x_{1,2} = -\frac{2}{2} \pm \sqrt{9} = -1 \pm 3$

$x_1 = -1 + 3 = 2 \qquad x_2 = -1 - 3 = -4$

$\boxed{\mathbb{L} = \{-4;\, 2\}}$

Probe: $2 \cdot 2^2 + 4 \cdot 2 - 16 = 8 + 8 - 16 = 0$ ✓ und $2 \cdot (-4)^2 + 4 \cdot (-4) - 16 = 32 - 16 - 16 = 0$ ✓

Schritt 3: Gleichung (c) — Doppelte Nullstelle

$x^2 + 6x + 9 = 0$

Die Gleichung liegt in Normalform vor. Wir lesen ab: $p = 6$ und $q = 9$.

Diskriminante berechnen:

$D = \left(\frac{6}{2}\right)^2 - 9 = 9 - 9 = 0$

Da $D = 0$, gibt es genau eine Lösung (doppelte Nullstelle).

pq-Formel anwenden:

$x_{1,2} = -\frac{6}{2} \pm \sqrt{0} = -3 \pm 0$

$\boxed{\mathbb{L} = \{-3\}}$

Erkenntnis: Die Gleichung lässt sich auch als binomische Formel schreiben:

$x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2 = 0$

Schritt 4: Zusammenfassung und Diskriminanten-Regel

Die Diskriminante $D = \left(\frac{p}{2}\right)^2 - q$ bestimmt die Anzahl der Lösungen:

Diskriminante	Anzahl der Lösungen	Beispiel
$D > 0$	Zwei verschiedene reelle Lösungen	Gleichung (a) und (b)
$D = 0$	Eine doppelte reelle Lösung	Gleichung (c)
$D < 0$	Keine reelle Lösung	—

Ergebnis

Gleichung	$p$	$q$	Diskriminante $D$	Lösungsmenge
$x^2 - 5x + 6 = 0$	$-5$	$6$	$\frac{1}{4} > 0$	$\mathbb{L} = \{2;\, 3\}$
$2x^2 + 4x - 16 = 0$	$2$	$-8$	$9 > 0$	$\mathbb{L} = \{-4;\, 2\}$
$x^2 + 6x + 9 = 0$	$6$	$9$	$0$	$\mathbb{L} = \{-3\}$

Merke: Vor dem Anwenden der pq-Formel muss die Gleichung immer zuerst in die Normalform $x^2 + px + q = 0$ gebracht werden (Koeffizient vor $x^2$ muss $1$ sein).