Lineare Funktionen aus Alltagssituationen

Aufgabenstellung

Ein Taxiunternehmen berechnet seine Fahrpreise wie folgt:

Gesucht:

(a) Stelle die Kostenfunktion $f(x)$ auf, wobei $x$ die gefahrenen Kilometer angibt.
(b) Berechne den Fahrpreis für eine Strecke von $12 \, \text{km}$ .
(c) Wie viele Kilometer kann man mit einem Budget von $25{,}50 \, €$ fahren?
(d) Interpretiere die Steigung und den $y$ -Achsenabschnitt im Sachzusammenhang.
(e) Ab welcher Strecke lohnt sich ein Konkurrenzanbieter mit $5{,}00 \, €$ Grundgebühr und $1{,}80 \, €/\text{km}$ ?

Die Kosten setzen sich zusammen aus einem festen Anteil (Grundgebühr) und einem variablen Anteil (Kilometerpreis):

$f(x) = m \cdot x + b$

Dabei ist:

$\boxed{f(x) = 2{,}20x + 3{,}50}$

mit $x \geq 0$ (Definitionsbereich: nicht-negative Kilometerzahl).

Wir setzen $x = 12$ in die Funktionsgleichung ein:

$f(12) = 2{,}20 \cdot 12 + 3{,}50$

$f(12) = 26{,}40 + 3{,}50$

$\boxed{f(12) = 29{,}90 \, €}$

Eine Fahrt über $12 \, \text{km}$ kostet $29{,}90 \, €$ .

Wir setzen $f(x) = 25{,}50$ und lösen nach $x$ auf:

$25{,}50 = 2{,}20x + 3{,}50$

Grundgebühr abziehen:

$25{,}50 - 3{,}50 = 2{,}20x$

$22{,}00 = 2{,}20x$

Durch die Steigung dividieren:

$x = \frac{22{,}00}{2{,}20}$

$\boxed{x = 10 \, \text{km}}$

Mit einem Budget von $25{,}50 \, €$ kann man genau $10 \, \text{km}$ weit fahren.

Steigung $m = 2{,}20$ :

Für jeden zusätzlich gefahrenen Kilometer steigt der Preis um $2{,}20 \, €$ .
Die Steigung gibt die Änderungsrate an: $\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{2{,}20 \, €}{1 \, \text{km}}$ .
Im Graphen: Auf $1 \, \text{km}$ nach rechts steigt der Preis um $2{,}20 \, €$ nach oben.

$y$ -Achsenabschnitt $b = 3{,}50$ :

Der Wert $f(0) = 3{,}50$ bedeutet: Selbst bei $0 \, \text{km}$ Fahrstrecke fallen $3{,}50 \, €$ an.
Das ist die Grundgebühr, die beim Einsteigen berechnet wird.
Im Graphen: Der Graph schneidet die $y$ -Achse bei $(0 \mid 3{,}50)$ .

Der Konkurrenzanbieter hat die Kostenfunktion:

$g(x) = 1{,}80x + 5{,}00$

Wir suchen den Schnittpunkt, also $f(x) = g(x)$ :

$2{,}20x + 3{,}50 = 1{,}80x + 5{,}00$

$2{,}20x - 1{,}80x = 5{,}00 - 3{,}50$

$0{,}40x = 1{,}50$

$x = \frac{1{,}50}{0{,}40}$

$\boxed{x = 3{,}75 \, \text{km}}$

Interpretation:

Für Strecken unter $3{,}75 \, \text{km}$ ist das erste Taxi günstiger (niedrigere Grundgebühr).
Für Strecken über $3{,}75 \, \text{km}$ ist der Konkurrenzanbieter günstiger (niedrigerer Kilometerpreis).
Bei genau $3{,}75 \, \text{km}$ kosten beide gleich viel: $f(3{,}75) = 2{,}20 \cdot 3{,}75 + 3{,}50 = 11{,}75 \, €$ .