Optisches Gitter: Beugung und Spektralzerlegung

Aufgabenstellung

Weißes Licht fällt auf ein optisches Gitter mit $g = 600\;\text{Linien/mm}$ . Auf einem Schirm hinter dem Gitter wird das Licht in seine spektralen Bestandteile zerlegt.

(a) Berechnen Sie die Gitterkonstante $d$ und den Beugungswinkel für rotes Licht ( $\lambda_{\text{rot}} = 650\;\text{nm}$ ) in erster Ordnung. (4 BE)
(b) Bestimmen Sie den Winkelbereich, in dem das Spektrum 1. Ordnung liegt (von Violett $\lambda_{\text{v}} = 400\;\text{nm}$ bis Rot $\lambda_{\text{r}} = 700\;\text{nm}$ ). (4 BE)
(c) Erklären Sie, warum bei einem Gitter mit mehr Spalten die Maxima schärfer werden. (3 BE)
(d) Überprüfen Sie, ob sich die Spektren 1. und 2. Ordnung überlappen können. (4 BE)

Lösungsweg

Schritt 1: Gitterkonstante und Beugungswinkel (a)

Die Gitterkonstante $d$ ist der Abstand zwischen zwei benachbarten Spalten. Bei $g = 600\;\text{Linien/mm}$ gilt:

$d = \frac{1}{g} = \frac{1}{600\;\text{mm}^{-1}} = \frac{1}{600} \;\text{mm} = 1{,}667 \cdot 10^{-3}\;\text{mm} = 1{,}667\;\mu\text{m}$

Für die Lage der Maxima am Gitter gilt die Gittergleichung:

$d \cdot \sin(\alpha) = n \cdot \lambda$

Für rotes Licht ( $\lambda_{\text{rot}} = 650\;\text{nm}$ ) in erster Ordnung ( $n = 1$ ):

$\sin(\alpha) = \frac{n \cdot \lambda}{d} = \frac{1 \cdot 650 \cdot 10^{-9}\;\text{m}}{1{,}667 \cdot 10^{-6}\;\text{m}} = 0{,}3899$

$\alpha = \arcsin(0{,}3899) = 22{,}95° \approx 23{,}0°$

$\boxed{d = 1{,}667\;\mu\text{m};\quad \alpha_{\text{rot}} \approx 23{,}0°}$

Schritt 2: Winkelbereich des Spektrums 1. Ordnung (b)

Violettes Licht ( $\lambda_{\text{v}} = 400\;\text{nm}$ , $n = 1$ ):

$\sin(\alpha_{\text{v}}) = \frac{400 \cdot 10^{-9}}{1{,}667 \cdot 10^{-6}} = 0{,}2400$

$\alpha_{\text{v}} = \arcsin(0{,}2400) = 13{,}89° \approx 13{,}9°$

Rotes Licht ( $\lambda_{\text{r}} = 700\;\text{nm}$ , $n = 1$ ):

$\sin(\alpha_{\text{r}}) = \frac{700 \cdot 10^{-9}}{1{,}667 \cdot 10^{-6}} = 0{,}4200$

$\alpha_{\text{r}} = \arcsin(0{,}4200) = 24{,}83° \approx 24{,}8°$

Der Winkelbereich des Spektrums 1. Ordnung erstreckt sich von:

$\Delta\alpha = \alpha_{\text{r}} - \alpha_{\text{v}} = 24{,}8° - 13{,}9° = 10{,}9°$

$\boxed{\text{Spektrum 1. Ordnung: } 13{,}9° \text{ (Violett)} \text{ bis } 24{,}8° \text{ (Rot)}, \quad \Delta\alpha \approx 10{,}9°}$

Schritt 3: Schärfere Maxima bei mehr Spalten (c)

Die Schärfe der Maxima hängt von der Anzahl $N$ der beleuchteten Spalte ab:

Bei einem Gitter mit $N$ Spalten überlagern sich $N$ Teilwellen. Konstruktive Interferenz tritt nur dann auf, wenn alle $N$ Teilwellen exakt in Phase sind — also genau bei den Winkeln, die die Gittergleichung erfüllen.
Bereits bei einer geringfügigen Abweichung vom exakten Maximumswinkel geraten die Beiträge der vielen Spalte zueinander außer Phase. Je mehr Spalte beteiligt sind, desto schneller kommt es zur gegenseitigen Auslöschung — die Intensität fällt steil ab.
Quantitativ gilt: Die Halbwertsbreite eines Maximums ist proportional zu $\frac{1}{N}$ . Die Winkelauflösung des Gitters beträgt $\frac{\lambda}{N \cdot d}$ . Ein Gitter mit mehr Spalten hat also schmalere, schärfere Maxima und kann benachbarte Wellenlängen besser trennen (höheres Auflösungsvermögen $A = n \cdot N$ ).

$\boxed{\text{Mehr Spalte → schnellere Auslöschung bei Abweichung → schmalere, schärfere Maxima}}$

Schritt 4: Überlappung von 1. und 2. Ordnung (d)

Die Spektren überlappen sich, wenn der Beugungswinkel des kurzwelligen Lichts in 2. Ordnung kleiner ist als der des langwelligen Lichts in 1. Ordnung.

Rotes Licht, 1. Ordnung ( $\lambda_{\text{r}} = 700\;\text{nm}$ , $n = 1$ ):

$\sin(\alpha_{1,\text{r}}) = \frac{1 \cdot 700}{1667} = 0{,}4200 \quad \Rightarrow \quad \alpha_{1,\text{r}} = 24{,}8°$

Violettes Licht, 2. Ordnung ( $\lambda_{\text{v}} = 400\;\text{nm}$ , $n = 2$ ):

$\sin(\alpha_{2,\text{v}}) = \frac{2 \cdot 400}{1667} = 0{,}4800 \quad \Rightarrow \quad \alpha_{2,\text{v}} = 28{,}7°$

Da $\alpha_{2,\text{v}} = 28{,}7° > \alpha_{1,\text{r}} = 24{,}8°$ beginnt das Spektrum 2. Ordnung erst nach dem Ende des Spektrums 1. Ordnung. Es gibt also keine Überlappung.

Prüfung der kritischen Grenze: Das Spektrum 2. Ordnung beginnt bei:

$\sin(\alpha_{2,\text{v}}) = \frac{2 \cdot 400}{1667} = 0{,}4800$

Das Spektrum 1. Ordnung endet bei:

$\sin(\alpha_{1,\text{r}}) = \frac{1 \cdot 700}{1667} = 0{,}4200$

Da $0{,}4800 > 0{,}4200$ , liegt keine Überlappung vor. Eine Überlappung würde erst auftreten, wenn $2 \cdot \lambda_{\text{v,min}} < 1 \cdot \lambda_{\text{r,max}}$ , also wenn $\lambda_{\text{v,min}} < 350\;\text{nm}$ — was im sichtbaren Bereich nicht der Fall ist.

$\boxed{\text{Keine Überlappung: 2. Ordnung (Violett bei } 28{,}7°\text{) beginnt nach 1. Ordnung (Rot bei } 24{,}8°\text{)}}$

Ergebnis

Frage	Antwort
Gitterkonstante	$d = 1{,}667\;\mu\text{m}$
Beugungswinkel Rot (1. Ordnung)	$\alpha \approx 23{,}0°$
Spektrum 1. Ordnung	$13{,}9°$ (Violett) bis $24{,}8°$ (Rot)
Schärfe bei mehr Spalten	Mehr Spalte → schmalere Maxima, höheres Auflösungsvermögen
Überlappung 1./2. Ordnung	Keine Überlappung im sichtbaren Bereich