Michelson-Interferometer: Präzisionsmessung mit Licht

Aufgabenstellung

Ein Michelson-Interferometer besteht aus einer Lichtquelle (He-Ne-Laser, $\lambda = 632{,}8\;\text{nm}$), einem halbdurchlässigen Strahlteiler und zwei Spiegeln $S_1$ und $S_2$. Am Ausgang werden die beiden Teilstrahlen überlagert und ein Interferenzmuster auf einem Detektor beobachtet.

• (a) Beschreiben Sie den Strahlengang im Michelson-Interferometer und erklären Sie, wie das Interferenzmuster entsteht. (4 BE)
• (b) Einer der Spiegel wird um die Strecke $\Delta d$ verschoben. Formulieren Sie die Bedingung dafür, dass am Detektor ein Wechsel von einem Maximum zum nächsten Maximum beobachtet wird. (4 BE)
• (c) Beim Verschieben eines Spiegels werden $N = 1580$ Intensitätswechsel (hell-dunkel) gezählt. Berechnen Sie die Verschiebung $\Delta d$ des Spiegels. (4 BE)
• (d) In einen Arm des Interferometers wird eine Glasplatte (Dicke $t = 1{,}0\;\text{mm}$, Brechungsindex $n = 1{,}50$) eingebracht. Berechnen Sie die dadurch verursachte zusätzliche optische Weglänge und die Anzahl der beobachteten Intensitätswechsel. (4 BE)
• (e) Erläutern Sie, wie das Prinzip des Michelson-Interferometers beim Gravitationswellendetektor LIGO genutzt wird. (4 BE)

Lösungsweg

Schritt 1: Strahlengang und Interferenzmuster (a)

Der Strahlengang im Michelson-Interferometer verläuft wie folgt:

1. Der Laserstrahl trifft auf den Strahlteiler (halbdurchlässiger Spiegel), der unter $45°$ zur Strahlrichtung steht. Der Strahl wird in zwei Teilstrahlen aufgeteilt: Ein Teil wird reflektiert (Richtung Spiegel $S_1$), der andere wird transmittiert (Richtung Spiegel $S_2$).

2. Beide Teilstrahlen laufen zu ihren jeweiligen Spiegeln, werden dort reflektiert und kehren zum Strahlteiler zurück.

3. Am Strahlteiler werden die beiden zurückkehrenden Strahlen wieder vereinigt: Der von $S_1$ reflektierte Strahl wird transmittiert, der von $S_2$ reflektierte wird reflektiert. Beide verlassen den Strahlteiler in Richtung Detektor.

4. Die beiden Teilstrahlen haben unterschiedliche optische Weglängen zurückgelegt. Ihre Überlagerung am Detektor führt zu Interferenz:

   • Konstruktive Interferenz (helles Maximum): wenn der Gangunterschied ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge beträgt ($\Delta s = m \cdot \lambda$).
   • Destruktive Interferenz (Minimum): wenn der Gangunterschied ein ungerades Vielfaches der halben Wellenlänge beträgt ($\Delta s = (m + \frac{1}{2}) \cdot \lambda$).

$\boxed{\text{Strahlteiler → zwei Arme → Reflexion → Überlagerung → Interferenz durch Gangunterschied}}$

Schritt 2: Bedingung für Maximum-zu-Maximum-Wechsel (b)

Wird ein Spiegel um die Strecke $\Delta d$ verschoben, ändert sich der optische Weg in diesem Arm um $2 \cdot \Delta d$ (Hin- und Rückweg).

Der Gangunterschied zwischen den beiden Teilstrahlen ändert sich also um:

$\Delta s = 2 \cdot \Delta d$

Für einen Wechsel von einem Maximum zum nächsten Maximum muss sich der Gangunterschied um genau eine Wellenlänge ändern:

$\Delta s = \lambda$

Daraus folgt die Bedingung:

$2 \cdot \Delta d = \lambda \quad \Rightarrow \quad \Delta d = \frac{\lambda}{2}$

Für den He-Ne-Laser:

$\Delta d = \frac{632{,}8\;\text{nm}}{2} = 316{,}4\;\text{nm} \approx 0{,}316\;\mu\text{m}$

$\boxed{\Delta d = \frac{\lambda}{2} \approx 316{,}4\;\text{nm} \text{ für einen Wechsel Maximum → Maximum}}$

Schritt 3: Verschiebung bei $N = 1580$ Intensitätswechseln (c)

Jeder Intensitätswechsel (hell → dunkel) entspricht einer Änderung des Gangunterschieds um $\frac{\lambda}{2}$.

Ein vollständiger Zyklus (hell → dunkel → hell) entspricht $N = 2$ Intensitätswechseln und einer Spiegelverschiebung um $\frac{\lambda}{2}$.

Bei $N = 1580$ Intensitätswechseln (hell-dunkel) werden also $\frac{N}{2} = 790$ vollständige Zyklen durchlaufen, was einer Verschiebung um $790 \cdot \frac{\lambda}{2}$ entspricht.

Alternativ: Jeder einzelne Intensitätswechsel (hell → dunkel oder dunkel → hell) entspricht einer Verschiebung um $\frac{\lambda}{4}$. Daher:

$\Delta d = N \cdot \frac{\lambda}{4} = 1580 \cdot \frac{632{,}8 \cdot 10^{-9}\;\text{m}}{4}$

$\Delta d = 1580 \cdot 158{,}2 \cdot 10^{-9}\;\text{m} = 2{,}500 \cdot 10^{-4}\;\text{m}$

$\boxed{\Delta d = 0{,}250\;\text{mm} = 250{,}0\;\mu\text{m}}$

Schritt 4: Zusätzliche optische Weglänge durch Glasplatte (d)

Ohne Glasplatte legt das Licht die Strecke $t$ in Luft zurück (Brechungsindex $n_{\text{Luft}} \approx 1$). Die optische Weglänge beträgt dann $t$.

Mit Glasplatte ($n = 1{,}50$) beträgt die optische Weglänge für dieselbe Strecke $n \cdot t$.

Die zusätzliche optische Weglänge ist (Hin- und Rückweg beachten, da das Licht die Platte zweimal durchläuft):

$\Delta s = 2 \cdot (n - 1) \cdot t$

$\Delta s = 2 \cdot (1{,}50 - 1) \cdot 1{,}0\;\text{mm} = 2 \cdot 0{,}50 \cdot 1{,}0\;\text{mm} = 1{,}0\;\text{mm}$

Die Anzahl der Intensitätswechsel (hell-dunkel-Wechsel) ergibt sich aus:

$N = \frac{\Delta s}{\frac{\lambda}{2}} = \frac{2 \cdot (n-1) \cdot t}{\frac{\lambda}{2}} = \frac{4 \cdot (n-1) \cdot t}{\lambda}$

$N = \frac{4 \cdot 0{,}50 \cdot 1{,}0 \cdot 10^{-3}\;\text{m}}{632{,}8 \cdot 10^{-9}\;\text{m}} = \frac{2{,}0 \cdot 10^{-3}}{632{,}8 \cdot 10^{-9}} \approx 3161$

$\boxed{\Delta s = 1{,}0\;\text{mm};\quad N \approx 3161 \text{ Intensitätswechsel}}$

Schritt 5: Michelson-Interferometer bei LIGO (e)

Der Gravitationswellendetektor LIGO (Laser Interferometer Gravitational-Wave Observatory) nutzt das Prinzip des Michelson-Interferometers in großem Maßstab:

1. Aufbau: LIGO besteht aus zwei senkrecht zueinander stehenden Armen von jeweils $L = 4\;\text{km}$ Länge. An den Enden befinden sich hochreflektierende Spiegel. Ein Laser wird am Knotenpunkt durch einen Strahlteiler in die beiden Arme aufgeteilt.

2. Messprinzip: Eine Gravitationswelle, die die Erde durchläuft, staucht den Raum in einer Richtung und streckt ihn in der senkrechten Richtung. Dadurch ändern sich die Armlängen minimal ($\Delta L \sim 10^{-18}\;\text{m}$, kleiner als ein Protonendurchmesser).

3. Detektion: Die winzige Längenänderung führt zu einer Verschiebung des Gangunterschieds zwischen den beiden Teilstrahlen. Am Detektor ändert sich das Interferenzmuster — es kommt zu messbaren Intensitätsschwankungen.

4. Empfindlichkeit: Durch den Einsatz von Fabry-Pérot-Resonatoren (das Licht wird in jedem Arm vielfach hin und her reflektiert) wird der effektive Lichtweg auf über $1000\;\text{km}$ verlängert. So können relative Längenänderungen von $\frac{\Delta L}{L} \sim 10^{-21}$ nachgewiesen werden.

5. Erster Nachweis: Am 14. September 2015 gelang mit LIGO der erste direkte Nachweis von Gravitationswellen — erzeugt durch die Verschmelzung zweier Schwarzer Löcher.

$\boxed{\text{LIGO: 4-km-Arme, Gravitationswellen ändern Armlängen → Interferenzmuster-Verschiebung}}$

Ergebnis

Frage	Antwort
Strahlengang	Strahlteiler → zwei Arme → Reflexion → Überlagerung
Bedingung Maximum → Maximum	$\Delta d = \frac{\lambda}{2} \approx 316{,}4\;\text{nm}$
Verschiebung bei 1580 Wechseln	$\Delta d = 250{,}0\;\mu\text{m}$
Optische Weglänge (Glasplatte)	$\Delta s = 1{,}0\;\text{mm}$; $N \approx 3161$ Wechsel
LIGO-Prinzip	Gravitationswellen ändern 4-km-Armlängen → Interferenz