Fallzeit aus der Höhe berechnen

Aufgabenstellung

Ein Stein wird aus $80 \, \text{m}$ Höhe losgelassen (Anfangsgeschwindigkeit $v_0 = 0$). Der Luftwiderstand wird vernachlässigt.

Gegeben:

• Höhe: $h = 80 \, \text{m}$
• Erdbeschleunigung: $g = 9{,}81 \, \frac{\text{m}}{\text{s}^2}$
• Anfangsgeschwindigkeit: $v_0 = 0 \, \frac{\text{m}}{\text{s}}$

Gesucht:

• (a) Die Fallzeit $t$, bis der Stein den Boden erreicht.
• (b) Die Aufprallgeschwindigkeit $v$ beim Auftreffen auf dem Boden.
• (c) Die zurückgelegte Fallstrecke nach $t = 2 \, \text{s}$ und die verbleibende Höhe.

Lösungsweg

Schritt 1: Fallzeit berechnen

Das Weg-Zeit-Gesetz des freien Falls lautet:

$h = \frac{1}{2} \, g \, t^2$

Wir lösen nach $t$ auf:

$t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$

Einsetzen der Werte:

$t = \sqrt{\frac{2 \cdot 80 \, \text{m}}{9{,}81 \, \frac{\text{m}}{\text{s}^2}}} = \sqrt{\frac{160}{9{,}81} \, \text{s}^2} = \sqrt{16{,}31 \, \text{s}^2}$

$\boxed{t \approx 4{,}04 \, \text{s}}$

Schritt 2: Aufprallgeschwindigkeit berechnen

Die Geschwindigkeit beim freien Fall ergibt sich aus:

$v = g \cdot t$

Einsetzen:

$v = 9{,}81 \, \frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 4{,}04 \, \text{s}$

$\boxed{v \approx 39{,}6 \, \frac{\text{m}}{\text{s}} \approx 142{,}6 \, \frac{\text{km}}{\text{h}}}$

Alternativ kann die Aufprallgeschwindigkeit ohne Umweg über die Zeit berechnet werden:

$v = \sqrt{2 \, g \, h} = \sqrt{2 \cdot 9{,}81 \cdot 80} \, \frac{\text{m}}{\text{s}} = \sqrt{1569{,}6} \, \frac{\text{m}}{\text{s}} \approx 39{,}6 \, \frac{\text{m}}{\text{s}}$

Schritt 3: Fallstrecke nach 2 Sekunden

Wir setzen $t = 2 \, \text{s}$ in das Weg-Zeit-Gesetz ein:

$s = \frac{1}{2} \, g \, t^2 = \frac{1}{2} \cdot 9{,}81 \, \frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot (2 \, \text{s})^2$

$s = \frac{1}{2} \cdot 9{,}81 \cdot 4 \, \text{m} = 19{,}62 \, \text{m}$

Die verbleibende Höhe über dem Boden beträgt:

$h_{\text{rest}} = 80 \, \text{m} - 19{,}62 \, \text{m}$

$\boxed{h_{\text{rest}} = 60{,}38 \, \text{m}}$

Ergebnis

Größe	Wert
Fallzeit bis zum Boden	$t \approx 4{,}04 \, \text{s}$
Aufprallgeschwindigkeit	$v \approx 39{,}6 \, \frac{\text{m}}{\text{s}} \approx 142{,}6 \, \frac{\text{km}}{\text{h}}$
Fallstrecke nach 2 s	$s \approx 19{,}62 \, \text{m}$
Verbleibende Höhe nach 2 s	$h_{\text{rest}} \approx 60{,}38 \, \text{m}$

Beobachtung: Nach der Hälfte der Fallzeit ($\approx 2 \, \text{s}$) hat der Stein erst etwa ein Viertel der Gesamtstrecke zurückgelegt. Das liegt daran, dass die Fallstrecke quadratisch mit der Zeit zunimmt — der Stein wird immer schneller.