Doppelspaltexperiment: Wellenlängenbestimmung mit Laserlicht

Aufgabenstellung

Monochromatisches Laserlicht fällt auf einen Doppelspalt mit dem Spaltabstand $d = 0{,}20\;\text{mm}$. Auf einem Schirm im Abstand $a = 3{,}0\;\text{m}$ hinter dem Doppelspalt werden Interferenzstreifen beobachtet. Der Abstand zwischen dem zentralen Maximum und dem ersten Nebenmaximum beträgt $\Delta y = 9{,}5\;\text{mm}$.

• (a) Bestimmen Sie die Wellenlänge des verwendeten Laserlichts. (4 BE)
• (b) Der Spaltabstand wird auf $d' = 0{,}10\;\text{mm}$ halbiert. Beschreiben Sie qualitativ, wie sich das Interferenzmuster ändert. (3 BE)
• (c) Das Laserlicht wird durch eine Glühlampe mit Rotfilter ersetzt. Erklären Sie, warum das Interferenzmuster weniger scharf wird. (4 BE)
• (d) Der Versuch wird mit Ultraschall ($f = 40\;\text{kHz}$, $c = 340\;\frac{\text{m}}{\text{s}}$) an einem Doppelspalt wiederholt. Berechnen Sie die Wellenlänge des Ultraschalls und geben Sie einen geeigneten Spaltabstand an. (4 BE)

Lösungsweg

Schritt 1: Wellenlänge des Laserlichts (a)

Für die Lage der Maxima beim Doppelspalt gilt die Bedingung:

$d \cdot \sin(\alpha) = n \cdot \lambda$

Bei kleinen Winkeln (Kleinwinkelnäherung $\sin(\alpha) \approx \tan(\alpha) = \frac{\Delta y}{a}$) ergibt sich für das erste Maximum ($n = 1$):

$\lambda = \frac{d \cdot \Delta y}{a}$

Einsetzen der Werte:

$\lambda = \frac{0{,}20 \cdot 10^{-3}\;\text{m} \cdot 9{,}5 \cdot 10^{-3}\;\text{m}}{3{,}0\;\text{m}}$

$\lambda = \frac{1{,}90 \cdot 10^{-6}}{3{,}0}\;\text{m} = 6{,}33 \cdot 10^{-7}\;\text{m} \approx 633\;\text{nm}$

$\boxed{\lambda \approx 633\;\text{nm} \text{ (rotes Laserlicht, typisch für He-Ne-Laser)}}$

Schritt 2: Halbierung des Spaltabstands (b)

Aus der Formel $\Delta y = \frac{a \cdot \lambda}{d}$ erkennt man, dass der Abstand der Maxima umgekehrt proportional zum Spaltabstand $d$ ist.

Bei Halbierung des Spaltabstands ($d' = \frac{d}{2}$) ergibt sich:

$\Delta y' = \frac{a \cdot \lambda}{d'} = \frac{a \cdot \lambda}{\frac{d}{2}} = 2 \cdot \frac{a \cdot \lambda}{d} = 2 \cdot \Delta y$

Das Interferenzmuster ändert sich wie folgt:

1. Die Abstände zwischen den Maxima verdoppeln sich — die hellen Streifen rücken weiter auseinander.
2. Die Maxima werden breiter, da die Interferenzstreifen insgesamt aufgeweitet werden.
3. Die Intensität der Maxima bleibt qualitativ erhalten, das Muster wird jedoch etwas weniger kontrastreich.

$\boxed{\text{Die Interferenzstreifen verdoppeln ihren Abstand — das Muster wird aufgeweitet}}$

Schritt 3: Glühlampe statt Laser (c)

Das Interferenzmuster wird aus mehreren Gründen weniger scharf:

1. Zeitliche Kohärenz: Ein Laser emittiert Licht mit einer exakt definierten Wellenlänge (hohe monochromatische Reinheit). Eine Glühlampe mit Rotfilter lässt dagegen einen Wellenlängenbereich durch (z. B. $\Delta\lambda \approx 50\;\text{nm}$). Jede Wellenlänge erzeugt ihr eigenes Interferenzmuster mit leicht unterschiedlichen Streifenabständen. Die Überlagerung führt zu verwischten Maxima — besonders bei höheren Ordnungen.

2. Räumliche Kohärenz: Der Laser ist eine nahezu punktförmige, gerichtete Lichtquelle. Die Glühlampe ist eine ausgedehnte Lichtquelle, bei der verschiedene Punkte der Quelle leicht unterschiedliche Interferenzmuster erzeugen. Diese überlagern sich und reduzieren den Kontrast (Sichtbarkeit) der Streifen.

3. Bei höheren Ordnungen ($n > 1$) verschwinden die Streifen vollständig, da die verschiedenen Wellenlängen dort zu destruktiver Überlagerung führen.

$\boxed{\text{Breiteres Spektrum (geringe Kohärenz) → Maxima verschwimmen, besonders bei höheren Ordnungen}}$

Schritt 4: Ultraschall am Doppelspalt (d)

Berechnung der Wellenlänge des Ultraschalls:

$\lambda_{\text{US}} = \frac{c}{f} = \frac{340\;\frac{\text{m}}{\text{s}}}{40\;\text{kHz}} = \frac{340}{40\,000}\;\text{m} = 8{,}5 \cdot 10^{-3}\;\text{m} = 8{,}5\;\text{mm}$

Für deutliche Interferenz muss der Spaltabstand in der Größenordnung der Wellenlänge liegen bzw. ein kleines Vielfaches davon betragen. Ein geeigneter Spaltabstand wäre:

$d_{\text{US}} \approx 2\lambda \text{ bis } 5\lambda \approx 17\;\text{mm} \text{ bis } 43\;\text{mm}$

Ein typischer Wert wäre $d_{\text{US}} \approx 25\;\text{mm}$.

Vergleich mit dem optischen Versuch: Die Wellenlänge des Ultraschalls ist um den Faktor $\frac{8{,}5\;\text{mm}}{633\;\text{nm}} \approx 13\,400$ größer als die des Laserlichts. Entsprechend muss der Spaltabstand um denselben Faktor vergrößert werden, um vergleichbare Beugungswinkel zu erhalten.

$\boxed{\lambda_{\text{US}} = 8{,}5\;\text{mm};\quad d_{\text{US}} \approx 25\;\text{mm}}$

Ergebnis

Frage	Antwort
Wellenlänge Laser	$\lambda \approx 633\;\text{nm}$ (rotes Licht)
Halbierter Spaltabstand	Streifenabstand verdoppelt sich
Glühlampe statt Laser	Muster unschärfer durch geringe Kohärenz
Ultraschall-Wellenlänge	$\lambda_{\text{US}} = 8{,}5\;\text{mm}$
Spaltabstand Ultraschall	$d_{\text{US}} \approx 25\;\text{mm}$