Teilcheninterferenz mit großen Molekülen

Aufgabenstellung

In einem Experiment der Universität Wien (Arndt et al., 1999) werden Fullerene ($\text{C}_{60}$) auf ein Nanogitter geschickt und dahinter ein Interferenzmuster beobachtet. Die Fullerene haben eine Masse von $m = 1{,}20 \cdot 10^{-24}\;\text{kg}$ und bewegen sich mit einer Geschwindigkeit von $v = 200\;\frac{\text{m}}{\text{s}}$. Das Nanogitter hat eine Gitterkonstante von $d = 100\;\text{nm}$.

Gegeben: Plancksches Wirkungsquantum $h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\;\text{J}\cdot\text{s}$.

• (a) Berechnen Sie die de-Broglie-Wellenlänge der Fullerene. (3 BE)
• (b) Berechnen Sie den Beugungswinkel des ersten Maximums am Gitter. (3 BE)
• (c) Erläutern Sie, warum wir im Alltag keine Interferenz bei makroskopischen Objekten beobachten. Berechnen Sie dazu die de-Broglie-Wellenlänge eines Fußballs ($m = 0{,}43\;\text{kg}$, $v = 30\;\frac{\text{m}}{\text{s}}$). (5 BE)
• (d) Diskutieren Sie, ob das Experiment die Gültigkeit der Quantenmechanik für makroskopische Objekte bestätigt oder ob es eine Grenze gibt. (4 BE)

Lösungsweg

Schritt 1: De-Broglie-Wellenlänge der Fullerene (a)

Nach der de-Broglie-Beziehung gilt:

$\lambda = \frac{h}{m \cdot v}$

Einsetzen der Werte:

$\lambda = \frac{6{,}626 \cdot 10^{-34}\;\text{J}\cdot\text{s}}{1{,}20 \cdot 10^{-24}\;\text{kg} \cdot 200\;\frac{\text{m}}{\text{s}}}$

$\lambda = \frac{6{,}626 \cdot 10^{-34}}{2{,}40 \cdot 10^{-22}}\;\text{m}$

$\boxed{\lambda \approx 2{,}76 \cdot 10^{-12}\;\text{m} = 2{,}76\;\text{pm}}$

Diese Wellenlänge liegt im Pikometer-Bereich und ist damit deutlich kleiner als ein Atomdurchmesser.

Schritt 2: Beugungswinkel des ersten Maximums (b)

Für das Gitter gilt die Bedingung für konstruktive Interferenz (Hauptmaxima):

$d \cdot \sin(\alpha) = n \cdot \lambda$

Für das erste Maximum ($n = 1$):

$\sin(\alpha) = \frac{\lambda}{d} = \frac{2{,}76 \cdot 10^{-12}\;\text{m}}{100 \cdot 10^{-9}\;\text{m}} = \frac{2{,}76 \cdot 10^{-12}}{1{,}00 \cdot 10^{-7}}$

$\sin(\alpha) = 2{,}76 \cdot 10^{-5}$

Da $\sin(\alpha) \ll 1$, gilt die Kleinwinkelnäherung $\alpha \approx \sin(\alpha)$:

$\boxed{\alpha \approx 2{,}76 \cdot 10^{-5}\;\text{rad} \approx 1{,}58 \cdot 10^{-3}\;° \approx 5{,}7''}$

Der Beugungswinkel ist extrem klein, was die experimentelle Beobachtung sehr anspruchsvoll macht.

Schritt 3: Makroskopische Objekte und Alltagserfahrung (c)

Berechnung der de-Broglie-Wellenlänge eines Fußballs:

$\lambda_{\text{Fußball}} = \frac{h}{m \cdot v} = \frac{6{,}626 \cdot 10^{-34}\;\text{J}\cdot\text{s}}{0{,}43\;\text{kg} \cdot 30\;\frac{\text{m}}{\text{s}}}$

$\lambda_{\text{Fußball}} = \frac{6{,}626 \cdot 10^{-34}}{12{,}9}\;\text{m}$

$\boxed{\lambda_{\text{Fußball}} \approx 5{,}14 \cdot 10^{-35}\;\text{m}}$

Einordnung und Erklärung:

1. Größenvergleich: Die de-Broglie-Wellenlänge des Fußballs ($\approx 10^{-35}\;\text{m}$) ist um ca. 20 Größenordnungen kleiner als der Durchmesser eines Protons ($\approx 10^{-15}\;\text{m}$). Sie ist damit physikalisch völlig unmessbar.

2. Interferenz erfordert passende Strukturen: Um Beugung oder Interferenz zu beobachten, müssten die beugenden Strukturen (Spaltbreite, Gitterkonstante) in der Größenordnung der Wellenlänge liegen. Strukturen von $10^{-35}\;\text{m}$ existieren nicht und sind technisch nicht herstellbar.

3. Dekohärenz: Makroskopische Objekte wechselwirken ständig mit ihrer Umgebung (Luftmoleküle, Wärmestrahlung). Diese Wechselwirkungen zerstören die Kohärenz der Wellenfunktion extrem schnell (Dekohärenz). Die Welleneigenschaften werden dadurch praktisch sofort unbeobachtbar.

4. Zusammenfassung: Die Quanteneffekte existieren prinzipiell auch für makroskopische Objekte, sind aber aufgrund der verschwindend kleinen Wellenlänge und der Dekohärenz im Alltag nicht nachweisbar. Die klassische Mechanik ist eine hervorragende Näherung für alle makroskopischen Objekte.

$\boxed{\lambda_{\text{Fußball}} \approx 10^{-35}\;\text{m} \text{ — unmessbar klein; Dekohärenz verhindert Interferenz}}$

Schritt 4: Gültigkeitsgrenze der Quantenmechanik (d)

Bestätigung der Quantenmechanik:

Das Fulleren-Experiment bestätigt, dass die Quantenmechanik auch für vergleichsweise große Objekte (720 Atome, Durchmesser $\approx 1\;\text{nm}$) gültig ist. Die de-Broglie-Beziehung $\lambda = h/(mv)$ liefert korrekte Vorhersagen für das beobachtete Interferenzmuster. Inzwischen wurde Interferenz sogar mit noch größeren Molekülen (über 2000 Atome) nachgewiesen.

Gibt es eine Grenze?

• Die Quantenmechanik kennt keine prinzipielle Massengrenze für ihre Gültigkeit. Die Gleichungen gelten formal für beliebig große Objekte.
• Der praktische Übergang vom Quantenverhalten zum klassischen Verhalten wird durch die Dekohärenz bestimmt: Je größer und wärmer ein Objekt, desto schneller verliert es durch Wechselwirkung mit der Umgebung seine quantenmechanische Kohärenz.
• Es ist eine offene Forschungsfrage, ob es einen fundamentalen Mechanismus gibt, der ab einer bestimmten Größe die Superposition zusammenbrechen lässt (z. B. gravitationsinduzierter Kollaps). Bisherige Experimente zeigen keinen solchen Mechanismus.

Fazit: Das Experiment zeigt, dass die Grenze zwischen Quanten- und klassischer Welt nicht scharf ist. Der Übergang wird durch Dekohärenz bestimmt und ist graduell. Es gibt bisher keinen experimentellen Hinweis auf eine fundamentale Grenze der Quantenmechanik.

$\boxed{\text{Keine prinzipielle Grenze; Dekohärenz bewirkt graduellen Übergang zur klassischen Physik}}$

Ergebnis

Frage	Antwort
Wellenlänge der Fullerene	$\lambda \approx 2{,}76\;\text{pm}$
Beugungswinkel 1. Maximum	$\alpha \approx 2{,}76 \cdot 10^{-5}\;\text{rad} \approx 5{,}7''$
Wellenlänge Fußball	$\lambda \approx 5{,}14 \cdot 10^{-35}\;\text{m}$ (unmessbar)
Keine Alltagsinterferenz	Extrem kleine $\lambda$ und Dekohärenz
Gültigkeitsgrenze	Keine prinzipielle Grenze; Dekohärenz bewirkt graduellen Übergang