Spektralanalyse von Sternen: Fraunhofer-Linien und Rotverschiebung

Aufgabenstellung

Das Licht eines Sterns wird mit einem Spektrographen analysiert. Im kontinuierlichen Spektrum sind dunkle Absorptionslinien (Fraunhofer-Linien) bei bestimmten Wellenlängen sichtbar.

• (a) Erklären Sie, wie die Fraunhofer-Linien im Sonnenspektrum entstehen. Gehen Sie dabei auf das Bohrsche Atommodell ein. (4 BE)
• (b) Die Balmer-Serie des Wasserstoffs beschreibt Übergänge auf das Energieniveau $n = 2$. Die Wellenlängen folgen: $\frac{1}{\lambda} = R_H \cdot \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{n^2}\right)$ mit $R_H = 1{,}097 \cdot 10^7\;\text{m}^{-1}$. Berechnen Sie die Wellenlänge der Linie $H_\alpha$ ($n = 3 \to 2$). (4 BE)
• (c) Im Spektrum eines fernen Sterns wird $H_\alpha$ bei $\lambda' = 662{,}7\;\text{nm}$ gemessen (statt $\lambda_0 = 656{,}3\;\text{nm}$). Erklären Sie dieses Phänomen (Rotverschiebung) und berechnen Sie die Fluchtgeschwindigkeit des Sterns. (5 BE)
• (d) Natriumdampf absorbiert Licht bei $\lambda = 589\;\text{nm}$. Berechnen Sie die Energie dieses Übergangs. (3 BE)
• (e) Erläutern Sie das Phänomen der Resonanzabsorption: Warum absorbiert Natrium genau diese Wellenlänge? (4 BE)

Lösungsweg

Schritt 1: Entstehung der Fraunhofer-Linien (a)

Die Fraunhofer-Linien sind dunkle Absorptionslinien im Sonnenspektrum. Ihre Entstehung lässt sich wie folgt erklären:

1. Die heiße Oberfläche der Sonne (Photosphäre, ca. $5800\;\text{K}$) strahlt ein kontinuierliches Spektrum ab — Licht aller Wellenlängen im sichtbaren Bereich und darüber hinaus.

2. Dieses Licht durchquert die kühlere äußere Gasatmosphäre der Sonne (Chromosphäre), die verschiedene chemische Elemente enthält (Wasserstoff, Helium, Natrium, Eisen u. a.).

3. Nach dem Bohrschen Atommodell können Elektronen in einem Atom nur bestimmte diskrete Energieniveaus $E_n$ einnehmen. Ein Elektron kann ein Photon nur dann absorbieren, wenn dessen Energie exakt der Energiedifferenz zwischen zwei erlaubten Niveaus entspricht:

$E_{\text{Photon}} = h \cdot f = E_n - E_m$

4. Die Atome in der Sonnenatmosphäre absorbieren daher Photonen mit ganz bestimmten Wellenlängen aus dem durchgehenden Licht. An diesen Wellenlängen fehlt Lichtintensität — es entstehen dunkle Linien im Spektrum.

5. Die absorbierten Photonen werden zwar wieder emittiert (Spontanemission), jedoch in alle Raumrichtungen gleichmäßig. In Beobachtungsrichtung kommt daher weniger Licht an als im umgebenden Kontinuum.

$\boxed{\text{Kühle Atmosphäre absorbiert diskrete Wellenlängen → dunkle Linien (Bohr: } E = h \cdot f = \Delta E\text{)}}$

Schritt 2: Wellenlänge der $H_\alpha$-Linie (b)

Die Balmer-Formel lautet:

$\frac{1}{\lambda} = R_H \cdot \left(\frac{1}{2^2} - \frac{1}{n^2}\right) = R_H \cdot \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{n^2}\right)$

Für die $H_\alpha$-Linie gilt $n = 3$ (Übergang von Niveau 3 auf Niveau 2):

$\frac{1}{\lambda} = R_H \cdot \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{9}\right) = R_H \cdot \left(\frac{9 - 4}{36}\right) = R_H \cdot \frac{5}{36}$

Einsetzen von $R_H = 1{,}097 \cdot 10^7\;\text{m}^{-1}$:

$\frac{1}{\lambda} = 1{,}097 \cdot 10^7 \cdot \frac{5}{36}\;\text{m}^{-1} = 1{,}097 \cdot 10^7 \cdot 0{,}13889\;\text{m}^{-1}$

$\frac{1}{\lambda} = 1{,}524 \cdot 10^6\;\text{m}^{-1}$

$\lambda = \frac{1}{1{,}524 \cdot 10^6}\;\text{m} = 6{,}563 \cdot 10^{-7}\;\text{m}$

$\boxed{\lambda_{H_\alpha} = 656{,}3\;\text{nm} \text{ (rotes Licht)}}$

Schritt 3: Rotverschiebung und Fluchtgeschwindigkeit (c)

Phänomen: Die gemessene Wellenlänge $\lambda' = 662{,}7\;\text{nm}$ ist größer als die Laborwellenlänge $\lambda_0 = 656{,}3\;\text{nm}$. Die Spektrallinie ist zu größeren Wellenlängen hin verschoben — sie ist rotverschoben.

Erklärung: Dies ist eine Folge des Doppler-Effekts für elektromagnetische Wellen. Entfernt sich eine Lichtquelle vom Beobachter, wird das Licht zu größeren Wellenlängen verschoben (Rotverschiebung). Der Stern bewegt sich also von der Erde weg.

Die Rotverschiebung $z$ beträgt:

$z = \frac{\Delta\lambda}{\lambda_0} = \frac{\lambda' - \lambda_0}{\lambda_0} = \frac{662{,}7 - 656{,}3}{656{,}3} = \frac{6{,}4}{656{,}3} = 9{,}75 \cdot 10^{-3}$

Für nicht-relativistische Geschwindigkeiten ($v \ll c$) gilt:

$\frac{\Delta\lambda}{\lambda_0} = \frac{v}{c}$

Daraus folgt die Fluchtgeschwindigkeit:

$v = z \cdot c = 9{,}75 \cdot 10^{-3} \cdot 3{,}00 \cdot 10^8\;\frac{\text{m}}{\text{s}}$

$v = 2{,}93 \cdot 10^6\;\frac{\text{m}}{\text{s}} \approx 2930\;\frac{\text{km}}{\text{s}}$

Prüfung: $v \approx 0{,}01 \cdot c$ — die nicht-relativistische Näherung ist gerechtfertigt.

$\boxed{v \approx 2930\;\frac{\text{km}}{\text{s}} \text{ (Fluchtgeschwindigkeit, Stern entfernt sich)}}$

Schritt 4: Energie des Natrium-Übergangs (d)

Die Energie eines Photons mit der Wellenlänge $\lambda = 589\;\text{nm}$ beträgt:

$E = \frac{h \cdot c}{\lambda}$

Mit $h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\;\text{J·s}$ und $c = 3{,}00 \cdot 10^8\;\frac{\text{m}}{\text{s}}$:

$E = \frac{6{,}626 \cdot 10^{-34} \cdot 3{,}00 \cdot 10^8}{589 \cdot 10^{-9}}\;\text{J}$

$E = \frac{1{,}988 \cdot 10^{-25}}{5{,}89 \cdot 10^{-7}}\;\text{J} = 3{,}374 \cdot 10^{-19}\;\text{J}$

Umrechnung in Elektronenvolt ($1\;\text{eV} = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\;\text{J}$):

$E = \frac{3{,}374 \cdot 10^{-19}}{1{,}602 \cdot 10^{-19}}\;\text{eV} = 2{,}107\;\text{eV}$

$\boxed{E = 3{,}37 \cdot 10^{-19}\;\text{J} \approx 2{,}11\;\text{eV}}$

Schritt 5: Resonanzabsorption bei Natrium (e)

Resonanzabsorption ist die selektive Absorption von Licht durch Atome bei exakt definierten Wellenlängen. Bei Natrium tritt sie besonders ausgeprägt bei $\lambda = 589\;\text{nm}$ (Natrium-D-Linie) auf.

1. Diskrete Energieniveaus: Nach dem Bohrschen Atommodell besitzt das Natriumatom diskrete Energieniveaus. Das Valenzelektron des Natriums befindet sich im Grundzustand auf dem Niveau $3s$.

2. Resonanzbedingung: Ein Photon kann nur dann absorbiert werden, wenn seine Energie exakt der Energiedifferenz zwischen dem Grundzustand $3s$ und einem angeregten Zustand $3p$ entspricht:

$E_{\text{Photon}} = h \cdot f = E_{3p} - E_{3s} = 2{,}11\;\text{eV}$

3. Selektivität: Photonen mit einer etwas größeren oder kleineren Wellenlänge haben eine andere Energie und passen nicht zu diesem Übergang. Sie werden nicht absorbiert und passieren den Natriumdampf ungehindert.

4. Resonanz: Der Begriff „Resonanz” drückt aus, dass das Atom — ähnlich einem mechanischen Oszillator — nur bei seiner Eigenfrequenz (hier $f = \frac{c}{\lambda} = 5{,}09 \cdot 10^{14}\;\text{Hz}$) Energie aufnimmt. Das Atom wird in den angeregten Zustand versetzt und gibt die Energie nach kurzer Zeit ($\sim 10^{-8}\;\text{s}$) durch spontane Emission wieder ab — allerdings in eine zufällige Richtung.

5. Beobachtung: In Durchsichtrichtung fehlt das Licht bei $589\;\text{nm}$ — man sieht eine dunkle Absorptionslinie im Spektrum. Seitlich betrachtet leuchtet der Natriumdampf in genau dieser Farbe (Resonanzfluoreszenz).

$\boxed{\text{Natrium absorbiert nur bei } 589\;\text{nm, da } E_{\text{Photon}} \text{ exakt zu } \Delta E_{3s \to 3p} \text{ passt (Resonanz)}}$

Ergebnis

Frage	Antwort
Fraunhofer-Linien	Kühle Atmosphäre absorbiert diskrete Wellenlängen (Bohr)
$H_\alpha$-Wellenlänge	$\lambda = 656{,}3\;\text{nm}$ (rotes Licht)
Rotverschiebung	Doppler-Effekt; $v \approx 2930\;\frac{\text{km}}{\text{s}}$
Energie Na-Übergang	$E = 3{,}37 \cdot 10^{-19}\;\text{J} \approx 2{,}11\;\text{eV}$
Resonanzabsorption	Absorption nur bei exakter Übereinstimmung $E_{\text{Photon}} = \Delta E$