Fortgeschritten Komplexaufgabe 20 Punkte ~35 Min. Natur & Technik

Gedämpfte Schwingungen und Schwingungstilger am Wolkenkratzer

Zur Lektion: Schwingungen: Pendel, Resonanz und Dämpfung verstehen

Aufgabenstellung

Der Wolkenkratzer Taipei 101 (Höhe 508  m508\;\text{m}) besitzt einen kugelförmigen Schwingungstilger der Masse m=660  tm = 660\;\text{t}, der an Stahlseilen der Länge l=42  ml = 42\;\text{m} hängt. Dieser Tilger soll Gebäudeschwingungen bei Taifunen oder Erdbeben dämpfen. Verwenden Sie g=9,81  ms2g = 9{,}81\;\frac{\text{m}}{\text{s}^2}.

  • (a) Modellieren Sie den Schwingungstilger als Fadenpendel und berechnen Sie seine Eigenfrequenz. (4 BE)
  • (b) Erklären Sie, warum die Eigenfrequenz des Pendels mit der Eigenfrequenz des Gebäudes übereinstimmen muss (Resonanzprinzip). (4 BE)
  • (c) Bei einem Taifun schwingt das Pendel mit einer Amplitude von y^=1,0  m\hat{y} = 1{,}0\;\text{m}. Berechnen Sie die maximale kinetische Energie. (4 BE)
  • (d) Die Schwingung wird durch Stoßdämpfer gedämpft. Die Amplitude nimmt exponentiell ab: y^(t)=y^0⋅e−δt\hat{y}(t) = \hat{y}_0 \cdot e^{-\delta t}. Nach 60  s60\;\text{s} beträgt die Amplitude noch 0,60  m0{,}60\;\text{m}. Bestimmen Sie die Dämpfungskonstante δ\delta. (4 BE)
  • (e) Erläutern Sie, in welche Energieformen die Schwingungsenergie bei der Dämpfung umgewandelt wird. (4 BE)

Lösungsweg

Schritt 1: Eigenfrequenz des Fadenpendels (a)

Ein Fadenpendel der Länge ll hat bei kleinen Auslenkungen die Schwingungsdauer:

T=2π⋅lgT = 2\pi \cdot \sqrt{\frac{l}{g}}

Einsetzen:

T=2π⋅42  m9,81  ms2T = 2\pi \cdot \sqrt{\frac{42\;\text{m}}{9{,}81\;\frac{\text{m}}{\text{s}^2}}}

T=2π⋅4,281  s2T = 2\pi \cdot \sqrt{4{,}281\;\text{s}^2}

T=2π⋅2,069  sT = 2\pi \cdot 2{,}069\;\text{s}

T≈13,0  s\boxed{T \approx 13{,}0\;\text{s}}

Die Eigenfrequenz beträgt:

f0=1T=113,0  sf_0 = \frac{1}{T} = \frac{1}{13{,}0\;\text{s}}

f0≈0,077  Hz\boxed{f_0 \approx 0{,}077\;\text{Hz}}

Hinweis: Die Eigenfrequenz hängt nur von der Seillänge ll und der Erdbeschleunigung gg ab, nicht von der Masse mm. Die Seillänge wurde so gewählt, dass die Eigenfrequenz des Pendels mit der Eigenfrequenz des Gebäudes übereinstimmt.

Schritt 2: Resonanzprinzip (b)

Der Schwingungstilger funktioniert nach dem Prinzip der Resonanz und Gegenphasigkeit:

  1. Resonanzbedingung: Wenn das Gebäude durch Wind oder Erdbeben zu Schwingungen angeregt wird, überträgt sich diese Schwingung über die Aufhängung auf das Pendel. Stimmt die Eigenfrequenz des Pendels mit der Eigenfrequenz des Gebäudes überein, schwingt das Pendel in Resonanz — es nimmt die maximale Energie auf.

  2. Gegenphasige Schwingung: Bei Resonanz schwingt das Pendel mit einer Phasenverschiebung von etwa π2\frac{\pi}{2} bis π\pi gegenüber dem Gebäude. Im eingeschwungenen Zustand schwingt das Pendel gegenphasig (Δφ=π\Delta \varphi = \pi): Wenn sich das Gebäude nach rechts neigt, schwingt das Pendel nach links.

  3. Energieübertragung: Das gegenphasig schwingende Pendel übt über die Aufhängung eine Rückstellkraft auf das Gebäude aus, die der Gebäudeschwingung entgegenwirkt. Dadurch wird dem Gebäude Schwingungsenergie entzogen und auf das Pendel übertragen.

  4. Ohne Frequenzanpassung: Stimmen die Frequenzen nicht überein, kann das Pendel kaum Energie aufnehmen — es schwingt mit geringer Amplitude und hat keine dämpfende Wirkung auf das Gebäude.

Bei fPendel=fGeba¨ude: maximale Energieaufnahme → gegenphasige Kraft da¨mpft Geba¨ude\boxed{\text{Bei } f_{\text{Pendel}} = f_{\text{Gebäude}} \text{: maximale Energieaufnahme → gegenphasige Kraft dämpft Gebäude}}

Schritt 3: Maximale kinetische Energie (c)

Die maximale kinetische Energie tritt auf, wenn das Pendel die Ruhelage durchläuft (gesamte potenzielle Energie ist in kinetische umgewandelt).

Für ein harmonisch schwingendes Pendel gilt:

Ekin,max=12⋅m⋅ω2⋅y^2E_{\text{kin,max}} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot \omega^2 \cdot \hat{y}^2

Die Kreisfrequenz berechnet sich aus der Schwingungsdauer:

ω=2πT=2π13,0  s≈0,483  s−1\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{13{,}0\;\text{s}} \approx 0{,}483\;\text{s}^{-1}

Einsetzen mit m=660  t=660  000  kgm = 660\;\text{t} = 660\;000\;\text{kg} und y^=1,0  m\hat{y} = 1{,}0\;\text{m}:

Ekin,max=12⋅660  000  kg⋅(0,483  s−1)2⋅(1,0  m)2E_{\text{kin,max}} = \frac{1}{2} \cdot 660\;000\;\text{kg} \cdot (0{,}483\;\text{s}^{-1})^2 \cdot (1{,}0\;\text{m})^2

Ekin,max=12⋅660  000⋅0,2333  JE_{\text{kin,max}} = \frac{1}{2} \cdot 660\;000 \cdot 0{,}2333\;\text{J}

Ekin,max≈77  000  J≈77  kJ\boxed{E_{\text{kin,max}} \approx 77\;000\;\text{J} \approx 77\;\text{kJ}}

Kontrolle über Energieerhaltung: Alternativ lässt sich die maximale kinetische Energie über die Hubhöhe berechnen. Für kleine Auslenkungen gilt h≈y^22lh \approx \frac{\hat{y}^2}{2l}:

h=(1,0)22⋅42  m≈0,0119  mh = \frac{(1{,}0)^2}{2 \cdot 42}\;\text{m} \approx 0{,}0119\;\text{m}

Epot=m⋅g⋅h=660  000⋅9,81⋅0,0119  J≈77  100  J≈77  kJ✓E_{\text{pot}} = m \cdot g \cdot h = 660\;000 \cdot 9{,}81 \cdot 0{,}0119\;\text{J} \approx 77\;100\;\text{J} \approx 77\;\text{kJ} \quad \checkmark

Schritt 4: Bestimmung der Dämpfungskonstante (d)

Gegeben: y^0=1,0  m\hat{y}_0 = 1{,}0\;\text{m}, y^(60  s)=0,60  m\hat{y}(60\;\text{s}) = 0{,}60\;\text{m}.

Das exponentielle Abklinggesetz lautet:

y^(t)=y^0⋅e−δt\hat{y}(t) = \hat{y}_0 \cdot e^{-\delta t}

Einsetzen der Werte für t=60  st = 60\;\text{s}:

0,60=1,0⋅e−δ⋅600{,}60 = 1{,}0 \cdot e^{-\delta \cdot 60}

0,60=e−60 δ0{,}60 = e^{-60\,\delta}

Logarithmieren:

ln⁡(0,60)=−60 δ\ln(0{,}60) = -60\,\delta

−0,5108=−60 δ-0{,}5108 = -60\,\delta

δ=0,510860  s\delta = \frac{0{,}5108}{60\;\text{s}}

δ≈8,5⋅10−3  s−1\boxed{\delta \approx 8{,}5 \cdot 10^{-3}\;\text{s}^{-1}}

Interpretation: Die Amplitude halbiert sich nach der Halbwertszeit:

t1/2=ln⁡2δ=0,6938,5⋅10−3  s−1≈82  st_{1/2} = \frac{\ln 2}{\delta} = \frac{0{,}693}{8{,}5 \cdot 10^{-3}\;\text{s}^{-1}} \approx 82\;\text{s}

Nach ca. 82  s82\;\text{s} ist die Schwingungsamplitude auf die Hälfte abgeklungen — das entspricht etwa 66 Schwingungsperioden.

Schritt 5: Energieumwandlung bei der Dämpfung (e)

Die Schwingungsenergie des Pendels wird bei der Dämpfung in folgende Energieformen umgewandelt:

  1. Wärmeenergie in den Stoßdämpfern: Der Schwingungstilger ist mit hydraulischen Stoßdämpfern (Viskosedämpfern) verbunden. In diesen wird Öl durch enge Ventile gedrückt. Die dabei auftretende viskose Reibung wandelt die kinetische Energie des Pendels in Wärme um. Dies ist der Hauptmechanismus der Energiedissipation.

  2. Wärmeenergie durch Luftreibung: Das massive Pendel (660  t660\;\text{t}) bewegt sich durch die Luft. Dabei tritt Luftwiderstand auf, der einen Teil der kinetischen Energie in Wärme der Luft und des Pendelkörpers umwandelt. Dieser Anteil ist jedoch im Vergleich zu den Stoßdämpfern gering.

  3. Schallenergie: Bei der Bewegung des Pendels und der Verformung der Stoßdämpfer werden Schallwellen erzeugt, die einen kleinen Teil der Energie in Form von Schall abführen.

  4. Geringfügige elastische Verformung: In den Stahlseilen und der Aufhängung treten bei jeder Schwingung geringe elastische Verformungen auf. Die innere Reibung (Materialdämpfung) wandelt einen kleinen Anteil in Wärme um.

Energieerhaltung: Die gesamte Schwingungsenergie wird letztlich vollständig in thermische Energie (Wärme) umgewandelt — die mechanische Energie dissipiert.

Hauptsa¨chlich Wa¨rme in Stoßda¨mpfern (viskose Reibung), daneben Luftreibung und Schall\boxed{\text{Hauptsächlich Wärme in Stoßdämpfern (viskose Reibung), daneben Luftreibung und Schall}}

Ergebnis

FrageAntwort
SchwingungsdauerT≈13,0  sT \approx 13{,}0\;\text{s}
Eigenfrequenzf0≈0,077  Hzf_0 \approx 0{,}077\;\text{Hz}
ResonanzprinzipfPendel=fGeba¨udef_{\text{Pendel}} = f_{\text{Gebäude}} → maximale Energieaufnahme, gegenphasige Dämpfung
Maximale kinetische EnergieEkin,max≈77  kJE_{\text{kin,max}} \approx 77\;\text{kJ}
Dämpfungskonstanteδ≈8,5⋅10−3  s−1\delta \approx 8{,}5 \cdot 10^{-3}\;\text{s}^{-1}
EnergieumwandlungWärme (Stoßdämpfer), Luftreibung, Schall

Schlagwörter

schwingungdaempfungresonanzfadenpendeleigenfrequenzschwingungstilger