Resonanz bei Fußgängerbrücken: Erzwungene Schwingungen

Aufgabenstellung

Eine Fußgängerbrücke hat eine Eigenfrequenz von $f_0 = 1{,}2\;\text{Hz}$. Fußgänger gehen mit einer Schrittfrequenz von etwa $f_{\text{Schritt}} = 1{,}0\text{–}1{,}4\;\text{Hz}$.

• (a) Erklären Sie die Begriffe Eigenfrequenz, erzwungene Schwingung und Resonanz. (4 BE)
• (b) Beschreiben Sie, was geschieht, wenn die Schrittfrequenz der Fußgänger mit der Eigenfrequenz der Brücke übereinstimmt. Erklären Sie, warum die Amplitude der Schwingung dabei stark zunimmt. (4 BE)
• (c) Die Amplitude einer erzwungenen Schwingung hängt vom Verhältnis $\frac{f}{f_0}$ ab. Skizzieren Sie qualitativ die Resonanzkurve $A(f)$ für verschiedene Dämpfungsgrade. (4 BE)
• (d) Nennen Sie zwei konstruktive Maßnahmen, um Resonanzprobleme bei Brücken zu vermeiden, und erklären Sie deren physikalische Wirkung. (3 BE)

Lösungsweg

Schritt 1: Begriffserklärungen (a)

Eigenfrequenz $f_0$: Die Eigenfrequenz ist die Frequenz, mit der ein schwingungsfähiges System nach einer einmaligen Auslenkung frei (ohne äußere Anregung) schwingt. Sie hängt von den Materialeigenschaften und der Geometrie des Systems ab — bei der Brücke von Masse, Steifigkeit und Spannweite. Für die Brücke gilt $f_0 = 1{,}2\;\text{Hz}$.

Erzwungene Schwingung: Eine erzwungene Schwingung liegt vor, wenn ein schwingungsfähiges System durch eine periodische äußere Kraft (Erreger) zur Schwingung angeregt wird. Das System schwingt nach einem Einschwingvorgang mit der Frequenz des Erregers $f$, nicht mit seiner Eigenfrequenz. Hier wirken die rhythmischen Schritte der Fußgänger als periodische Erregerkraft auf die Brücke.

Resonanz: Resonanz tritt auf, wenn die Erregerfrequenz $f$ mit der Eigenfrequenz $f_0$ des Systems übereinstimmt ($f = f_0$). In diesem Fall nimmt die Amplitude der erzwungenen Schwingung ein Maximum an, das bei geringer Dämpfung sehr groß werden kann.

$\boxed{f_0\text{: freie Schwingfrequenz;}\;\text{erzwungen: Schwingung durch äußere Kraft;}\;\text{Resonanz: } f = f_0}$

Schritt 2: Resonanz auf der Brücke (b)

Wenn die Schrittfrequenz der Fußgänger mit der Eigenfrequenz der Brücke übereinstimmt ($f_{\text{Schritt}} = f_0 = 1{,}2\;\text{Hz}$), tritt Resonanz ein:

1. Energiezufuhr im Takt: Jeder Schritt der Fußgänger drückt die Brücke nach unten und gibt ihr Energie. Da die Schrittfrequenz genau mit der Eigenfrequenz übereinstimmt, erfolgt jeder Kraftstoß im richtigen Moment — nämlich dann, wenn sich die Brücke bereits in die gleiche Richtung bewegt.

2. Konstruktive Aufschaukelung: Die zugeführte Energie addiert sich bei jeder Schwingung zur vorhandenen Schwingungsenergie. Es ist vergleichbar mit dem Anschieben einer Schaukel: Schiebt man immer im richtigen Moment, wird die Amplitude immer größer.

3. Amplitudenwachstum: Die Amplitude wächst so lange, bis die pro Schwingung zugeführte Energie gleich der durch Dämpfung (innere Reibung, Luftwiderstand) dissipierten Energie ist. Bei geringer Dämpfung kann die Gleichgewichtsamplitude sehr groß werden.

4. Gefahr: Die Brücke kann so stark schwingen, dass sie strukturell beschädigt wird oder Fußgänger das Gleichgewicht verlieren (bekanntes Beispiel: Millennium Bridge in London, 2000).

$\boxed{\text{Bei } f = f_0 \text{: Schritte im Takt → Energie addiert sich → Amplitude wächst stark}}$

Schritt 3: Resonanzkurve (c)

Die Resonanzkurve $A(f)$ zeigt die Amplitude der erzwungenen Schwingung als Funktion der Erregerfrequenz. Die Skizze muss folgende Merkmale enthalten:

1. Achsen: Horizontale Achse: Erregerfrequenz $f$ (oder $\frac{f}{f_0}$). Vertikale Achse: Amplitude $A$.

2. Kurvenform: Für jede Dämpfung entsteht eine glockenförmige Kurve mit einem Maximum in der Nähe von $f_0$.

3. Geringe Dämpfung (Kurve 1): Sehr hohes, schmales Maximum bei $f \approx f_0$. Die Amplitude kann ein Vielfaches der statischen Auslenkung betragen.

4. Mittlere Dämpfung (Kurve 2): Niedrigeres, breiteres Maximum. Das Maximum verschiebt sich geringfügig zu Frequenzen unterhalb von $f_0$.

5. Starke Dämpfung (Kurve 3): Flache, breite Kurve ohne ausgeprägtes Maximum. Die Amplitude ist bei allen Frequenzen gering.

6. Grenzfälle: Für $f \to 0$ nähert sich die Amplitude der statischen Auslenkung. Für $f \to \infty$ geht die Amplitude gegen null (das System kann der schnellen Anregung nicht mehr folgen).

$\boxed{\text{Geringe Dämpfung: hohes, schmales Maximum; starke Dämpfung: flache, breite Kurve}}$

Schritt 4: Konstruktive Gegenmaßnahmen (d)

Maßnahme 1: Schwingungstilger (Tuned Mass Damper)

Ein Schwingungstilger ist eine zusätzliche Masse, die über Federn und Dämpfer an die Brücke gekoppelt wird. Er wird auf die Eigenfrequenz der Brücke abgestimmt ($f_{\text{Tilger}} = f_0$).

Physikalische Wirkung: Wenn die Brücke bei $f_0$ zu schwingen beginnt, wird die Tilgermasse gegenphasig angeregt. Sie entzieht der Brücke Schwingungsenergie und wandelt sie durch die Dämpfer in Wärme um. Die Resonanzamplitude der Brücke wird drastisch reduziert. Im Frequenzspektrum „spaltet” sich das eine Maximum in zwei kleinere Maxima auf.

Maßnahme 2: Erhöhung der Dämpfung (viskose Dämpfer)

An der Brücke werden hydraulische oder viskose Dämpfer installiert, die die Schwingungsenergie durch innere Reibung in Wärme umwandeln.

Physikalische Wirkung: Wie die Resonanzkurve zeigt, wird das Resonanzmaximum mit zunehmender Dämpfung breiter und niedriger. Die maximale Amplitude bei Resonanz sinkt. Die Brücke schwingt zwar noch, aber die Amplitude bleibt in einem sicheren Bereich. Die dissipierte Energie pro Schwingung wird größer, sodass sich die Schwingung nicht mehr aufschaukeln kann.

$\boxed{\text{1. Schwingungstilger (gegenphasig, entzieht Energie); 2. Viskose Dämpfer (Reibung → Wärme)}}$

Ergebnis

Frage	Antwort
Eigenfrequenz	Freie Schwingfrequenz des Systems ($f_0 = 1{,}2\;\text{Hz}$)
Resonanz	$f = f_0$: Energiezufuhr im Takt → starkes Amplitudenwachstum
Resonanzkurve	Geringe Dämpfung: hohes, schmales Maximum; starke Dämpfung: flach und breit
Gegenmaßnahmen	Schwingungstilger (gegenphasig) und viskose Dämpfer (Energiedissipation)