Gemischte Schaltung berechnen

Aufgabenstellung

In einem Stromkreis ist der Widerstand $R_1 = 100 \, \Omega$ in Reihe geschaltet mit einer Parallelschaltung aus $R_2 = 200 \, \Omega$ und $R_3 = 300 \, \Omega$. Die Spannungsquelle liefert $U_{\text{ges}} = 12 \, \text{V}$.

Gegeben:

• $R_1 = 100 \, \Omega$ (in Reihe)
• $R_2 = 200 \, \Omega$ (parallel zu $R_3$)
• $R_3 = 300 \, \Omega$ (parallel zu $R_2$)
• $U_{\text{ges}} = 12 \, \text{V}$

Gesucht:

• (a) Der Ersatzwiderstand $R_{\text{P}}$ der Parallelschaltung und der Gesamtwiderstand $R_{\text{ges}}$.
• (b) Der Gesamtstrom $I_{\text{ges}}$.
• (c) Die Spannung über $R_1$ und über der Parallelschaltung.
• (d) Die Teilströme $I_2$ und $I_3$ durch $R_2$ und $R_3$.
• (e) Überprüfung der Ergebnisse.

Lösungsweg

Schritt 1: Ersatzwiderstand der Parallelschaltung

Für die Parallelschaltung von $R_2$ und $R_3$ gilt:

$\frac{1}{R_{\text{P}}} = \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} = \frac{1}{200 \, \Omega} + \frac{1}{300 \, \Omega}$

Wir bringen die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner:

$\frac{1}{R_{\text{P}}} = \frac{3}{600 \, \Omega} + \frac{2}{600 \, \Omega} = \frac{5}{600 \, \Omega}$

$\boxed{R_{\text{P}} = \frac{600}{5} \, \Omega = 120 \, \Omega}$

Kontrolle: Der Parallelwiderstand ($120 \, \Omega$) ist kleiner als der kleinste Einzelwiderstand ($200 \, \Omega$) — das muss bei Parallelschaltungen immer so sein.

Schritt 2: Gesamtwiderstand

$R_1$ und $R_{\text{P}}$ sind in Reihe geschaltet, daher addieren sich die Widerstände:

$R_{\text{ges}} = R_1 + R_{\text{P}} = 100 \, \Omega + 120 \, \Omega$

$\boxed{R_{\text{ges}} = 220 \, \Omega}$

Schritt 3: Gesamtstrom

Mit dem Ohmschen Gesetz berechnen wir den Gesamtstrom:

$I_{\text{ges}} = \frac{U_{\text{ges}}}{R_{\text{ges}}} = \frac{12 \, \text{V}}{220 \, \Omega}$

$\boxed{I_{\text{ges}} \approx 54{,}5 \, \text{mA} \approx 0{,}0545 \, \text{A}}$

Schritt 4: Spannungen an den Bauteilen

Spannung über $R_1$:

$U_1 = R_1 \cdot I_{\text{ges}} = 100 \, \Omega \cdot 0{,}0545 \, \text{A}$

$\boxed{U_1 \approx 5{,}45 \, \text{V}}$

Spannung über der Parallelschaltung:

$U_{\text{P}} = R_{\text{P}} \cdot I_{\text{ges}} = 120 \, \Omega \cdot 0{,}0545 \, \text{A}$

$\boxed{U_{\text{P}} \approx 6{,}55 \, \text{V}}$

Probe (Maschenregel): $U_1 + U_{\text{P}} = 5{,}45 \, \text{V} + 6{,}55 \, \text{V} = 12{,}00 \, \text{V} = U_{\text{ges}}$ ✓

Schritt 5: Teilströme durch R₂ und R₃

In der Parallelschaltung liegt an beiden Widerständen die gleiche Spannung $U_{\text{P}}$ an.

Strom durch $R_2$:

$I_2 = \frac{U_{\text{P}}}{R_2} = \frac{6{,}55 \, \text{V}}{200 \, \Omega}$

$\boxed{I_2 \approx 32{,}7 \, \text{mA}}$

Strom durch $R_3$:

$I_3 = \frac{U_{\text{P}}}{R_3} = \frac{6{,}55 \, \text{V}}{300 \, \Omega}$

$\boxed{I_3 \approx 21{,}8 \, \text{mA}}$

Schritt 6: Überprüfung (Knotenregel)

An der Verzweigung muss gelten (Knotenregel / 1. Kirchhoffsches Gesetz):

$I_{\text{ges}} = I_2 + I_3$

$54{,}5 \, \text{mA} = 32{,}7 \, \text{mA} + 21{,}8 \, \text{mA} = 54{,}5 \, \text{mA}$ ✓

Beobachtung: Durch den kleineren Widerstand $R_2$ fließt der größere Teilstrom. Das entspricht der Regel: In einer Parallelschaltung teilt sich der Strom im umgekehrten Verhältnis der Widerstände auf.

$\frac{I_2}{I_3} = \frac{R_3}{R_2} = \frac{300}{200} = 1{,}5$

$\frac{32{,}7}{21{,}8} \approx 1{,}5$ ✓

Ergebnis

Größe	Wert
Parallelwiderstand $R_{\text{P}}$	$120 \, \Omega$
Gesamtwiderstand $R_{\text{ges}}$	$220 \, \Omega$
Gesamtstrom $I_{\text{ges}}$	$\approx 54{,}5 \, \text{mA}$
Spannung über $R_1$	$U_1 \approx 5{,}45 \, \text{V}$
Spannung über Parallelschaltung	$U_{\text{P}} \approx 6{,}55 \, \text{V}$
Strom durch $R_2$	$I_2 \approx 32{,}7 \, \text{mA}$
Strom durch $R_3$	$I_3 \approx 21{,}8 \, \text{mA}$

Alle Ergebnisse erfüllen sowohl die Maschenregel ($U_1 + U_{\text{P}} = U_{\text{ges}}$) als auch die Knotenregel ($I_2 + I_3 = I_{\text{ges}}$).