Eindimensionaler Potentialtopf und Energiequantisierung

Aufgabenstellung

Ein Elektron befindet sich in einem eindimensionalen unendlich tiefen Potentialtopf der Breite $L = 0{,}50\;\text{nm}$.

Gegeben: Plancksches Wirkungsquantum $h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\;\text{J}\cdot\text{s}$, Elektronenmasse $m_e = 9{,}109 \cdot 10^{-31}\;\text{kg}$, Lichtgeschwindigkeit $c = 3{,}00 \cdot 10^{8}\;\frac{\text{m}}{\text{s}}$, $1\;\text{eV} = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\;\text{J}$.

Die erlaubten Energieniveaus im unendlich tiefen Potentialtopf sind:

$E_n = \frac{n^2 \cdot h^2}{8 \cdot m_e \cdot L^2} \qquad (n = 1, 2, 3, \ldots)$

• (a) Berechnen Sie die Energien $E_1$, $E_2$ und $E_3$ in Elektronenvolt. (5 BE)
• (b) Zeichnen Sie ein Energieniveauschema und tragen Sie die möglichen Übergänge zwischen den drei Niveaus ein. Berechnen Sie die Wellenlänge des Photons, das beim Übergang $n = 3 \to n = 1$ emittiert wird. (4 BE)
• (c) Erklären Sie, warum die Energien quantisiert sind, indem Sie die Analogie zur stehenden Welle nutzen. (4 BE)
• (d) Vergleichen Sie das Potentialtopfmodell mit dem Bohrschen Atommodell hinsichtlich Energiequantisierung und Grenzen der Modelle. (4 BE)
• (e) Der Potentialtopf wird auf die Breite $L' = 1{,}0\;\text{nm}$ verbreitert. Beschreiben Sie qualitativ, wie sich die Energieniveaus ändern, und erklären Sie den Zusammenhang. (3 BE)

Lösungsweg

Schritt 1: Berechnung der Energieniveaus (a)

Zunächst berechnen wir den gemeinsamen Vorfaktor:

$\frac{h^2}{8 \cdot m_e \cdot L^2} = \frac{(6{,}626 \cdot 10^{-34})^2}{8 \cdot 9{,}109 \cdot 10^{-31} \cdot (0{,}50 \cdot 10^{-9})^2}\;\text{J}$

Zähler:

$h^2 = (6{,}626 \cdot 10^{-34})^2 = 4{,}390 \cdot 10^{-67}\;\text{J}^2\cdot\text{s}^2$

Nenner:

$8 \cdot m_e \cdot L^2 = 8 \cdot 9{,}109 \cdot 10^{-31} \cdot 2{,}50 \cdot 10^{-19} = 1{,}822 \cdot 10^{-48}\;\text{kg}\cdot\text{m}^2$

Vorfaktor:

$\frac{h^2}{8 m_e L^2} = \frac{4{,}390 \cdot 10^{-67}}{1{,}822 \cdot 10^{-48}}\;\text{J} = 2{,}410 \cdot 10^{-19}\;\text{J} = 1{,}505\;\text{eV}$

Damit ergeben sich die Energieniveaus $E_n = n^2 \cdot 1{,}505\;\text{eV}$:

$E_1 = 1^2 \cdot 1{,}505\;\text{eV} = 1{,}51\;\text{eV}$

$E_2 = 2^2 \cdot 1{,}505\;\text{eV} = 6{,}02\;\text{eV}$

$E_3 = 3^2 \cdot 1{,}505\;\text{eV} = 13{,}5\;\text{eV}$

$\boxed{E_1 \approx 1{,}51\;\text{eV}, \quad E_2 \approx 6{,}02\;\text{eV}, \quad E_3 \approx 13{,}5\;\text{eV}}$

Die Abstände zwischen den Niveaus wachsen mit steigender Quantenzahl — dies ist ein charakteristisches Merkmal des Potentialtopfmodells.

Schritt 2: Energieniveauschema und Photonenwellenlänge (b)

Energieniveauschema:

Die drei Niveaus werden als horizontale Linien bei ihren jeweiligen Energien eingetragen. Zwischen ihnen sind drei mögliche Übergänge als Pfeile nach unten einzuzeichnen:

• $n = 3 \to n = 2$: $\Delta E = 13{,}5 - 6{,}02 = 7{,}48\;\text{eV}$
• $n = 3 \to n = 1$: $\Delta E = 13{,}5 - 1{,}51 = 12{,}0\;\text{eV}$
• $n = 2 \to n = 1$: $\Delta E = 6{,}02 - 1{,}51 = 4{,}51\;\text{eV}$

Wellenlänge beim Übergang $n = 3 \to n = 1$:

Die Energiedifferenz beträgt:

$\Delta E_{3 \to 1} = E_3 - E_1 = 13{,}5\;\text{eV} - 1{,}51\;\text{eV} = 12{,}0\;\text{eV}$

Umrechnung in Joule:

$\Delta E_{3 \to 1} = 12{,}0 \cdot 1{,}602 \cdot 10^{-19}\;\text{J} = 1{,}922 \cdot 10^{-18}\;\text{J}$

Die Wellenlänge des emittierten Photons ergibt sich aus $E = h \cdot f = \frac{h \cdot c}{\lambda}$:

$\lambda = \frac{h \cdot c}{\Delta E} = \frac{6{,}626 \cdot 10^{-34} \cdot 3{,}00 \cdot 10^{8}}{1{,}922 \cdot 10^{-18}}\;\text{m}$

$\boxed{\lambda \approx 1{,}03 \cdot 10^{-7}\;\text{m} = 103\;\text{nm} \quad \text{(UV-Strahlung)}}$

Schritt 3: Analogie zur stehenden Welle (c)

Die Energiequantisierung im Potentialtopf lässt sich anschaulich über die Analogie zur stehenden Welle auf einer Saite verstehen:

Stehende Welle auf einer Saite: Eine Saite, die an beiden Enden eingespannt ist (Länge $L$), kann nur bestimmte Schwingungsmoden ausbilden. An beiden Enden müssen Knoten vorliegen. Daher muss die Wellenlänge die Bedingung erfüllen:

$L = n \cdot \frac{\lambda_n}{2} \qquad \Rightarrow \qquad \lambda_n = \frac{2L}{n} \qquad (n = 1, 2, 3, \ldots)$

Übertragung auf den Potentialtopf: Das Elektron wird im Potentialtopf als stehende Materiewelle (Wellenfunktion $\psi$) beschrieben. An den Wänden des Topfes muss die Wellenfunktion verschwinden ($\psi = 0$, Randbedingung), da sich das Elektron nicht außerhalb des Topfes aufhalten kann.

Daher sind nur bestimmte Wellenlängen erlaubt: $\lambda_n = \frac{2L}{n}$.

Mit der de-Broglie-Beziehung $p = \frac{h}{\lambda}$ und der kinetischen Energie $E = \frac{p^2}{2m}$ folgt:

$E_n = \frac{p_n^2}{2m_e} = \frac{1}{2m_e} \left(\frac{h}{\lambda_n}\right)^2 = \frac{1}{2m_e} \left(\frac{n \cdot h}{2L}\right)^2 = \frac{n^2 \cdot h^2}{8 m_e L^2}$

Die Randbedingungen erzwingen also diskrete Wellenlängen, die über die de-Broglie-Beziehung zu diskreten Impulsen und damit zu diskreten Energien führen. Die Quantisierung ist eine direkte Folge der Wellennatur des Elektrons und der räumlichen Einschränkung.

$\boxed{\text{Randbedingungen } \psi = 0 \text{ erzwingen stehende Wellen } \to \text{ diskrete } \lambda_n \to \text{ quantisierte } E_n}$

Schritt 4: Vergleich mit dem Bohrschen Atommodell (d)

Aspekt	Potentialtopfmodell	Bohrsches Atommodell
Geometrie	Elektron in einem Kasten (1D)	Elektron auf Kreisbahn um Kern (3D)
Quantisierung	Stehende Materiewellen im Kasten; $E_n \propto n^2$	Stehende Wellen auf Kreisbahn; $E_n \propto -\frac{1}{n^2}$
Energieniveaus	Abstände wachsen mit $n$	Abstände nehmen mit $n$ ab
Grundzustand	$E_1 > 0$ (Nullpunktsenergie)	$E_1 = -13{,}6\;\text{eV}$ (gebundener Zustand)
Gemeinsamkeit	Quantisierung durch Randbedingung/stehende Welle	Quantisierung durch Randbedingung ($n \cdot \lambda = 2\pi r$)

Grenzen des Potentialtopfmodells: Das Modell ist stark vereinfacht — ein reales Atom hat kein kastenförmiges Potential, sondern ein Coulomb-Potential ($\propto 1/r$). Das Modell kann das Wasserstoffspektrum nicht korrekt beschreiben, ist aber nützlich für Elektronen in Nanostrukturen (Quantenpunkte, Quantendrähte).

Grenzen des Bohrschen Modells: Es funktioniert nur für Einelektronensysteme und kann weder die Intensität von Spektrallinien noch die chemische Bindung erklären. Es behandelt das Elektron noch als Teilchen auf einer definierten Bahn, was der Quantenmechanik widerspricht.

$\boxed{\text{Beide Modelle: Quantisierung durch stehende Wellen; beide mit Grenzen der Anwendbarkeit}}$

Schritt 5: Verbreiterung des Potentialtopfs (e)

Der Potentialtopf wird von $L = 0{,}50\;\text{nm}$ auf $L' = 1{,}0\;\text{nm}$ verdoppelt.

Da $E_n = \frac{n^2 h^2}{8 m_e L^2}$ gilt, ist die Energie umgekehrt proportional zum Quadrat der Topfbreite:

$E_n \propto \frac{1}{L^2}$

Bei Verdopplung von $L$:

$E_n' = \frac{n^2 h^2}{8 m_e (2L)^2} = \frac{E_n}{4}$

Alle Energieniveaus sinken auf ein Viertel ihres ursprünglichen Wertes:

$E_1' = \frac{1{,}51}{4} \approx 0{,}38\;\text{eV}, \qquad E_2' \approx 1{,}51\;\text{eV}, \qquad E_3' \approx 3{,}38\;\text{eV}$

Physikalische Erklärung: In einem breiteren Topf passen stehende Wellen mit größerer Wellenlänge hinein. Größere Wellenlänge bedeutet kleinerer Impuls ($p = h/\lambda$) und damit kleinere kinetische Energie. Die Energieniveaus rücken zudem enger zusammen, was bedeutet, dass der Übergang zum klassischen Kontinuum (beliebige Energien) bei sehr großen Topfbreiten anschaulich wird.

$\boxed{\text{Verdopplung von } L \to E_n' = \frac{E_n}{4}; \text{ Niveaus rücken enger zusammen}}$

Ergebnis

Frage	Antwort
Energieniveaus	$E_1 \approx 1{,}51\;\text{eV}$, $E_2 \approx 6{,}02\;\text{eV}$, $E_3 \approx 13{,}5\;\text{eV}$
Photon $n = 3 \to 1$	$\lambda \approx 103\;\text{nm}$ (UV)
Quantisierung	Stehende Materiewellen; Randbedingungen erzwingen diskrete $\lambda_n$
Vergleich Bohr	Beide: stehende Wellen; Potentialtopf $E_n \propto n^2$, Bohr $E_n \propto -1/n^2$
Verbreiterung $L' = 2L$	$E_n' = E_n / 4$; Niveaus rücken enger zusammen