RC-Zeitschaltung im Rauchmelder: Kondensatorentladung

Aufgabenstellung

In einem Rauchmelder wird ein RC-Glied als Zeitschaltung verwendet. Ein Kondensator ($C = 470\;\mu\text{F}$) wird über einen Widerstand ($R = 22\;\text{k}\Omega$) entladen. Die Anfangsspannung beträgt $U_0 = 9{,}0\;\text{V}$. Ein Komparator löst den Alarm aus, wenn die Spannung unter $U_{\text{grenz}} = 3{,}0\;\text{V}$ fällt.

• (a) Berechnen Sie die Zeitkonstante $\tau = R \cdot C$ des RC-Glieds. (2 BE)
• (b) Die Spannung folgt $U(t) = U_0 \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}$. Berechnen Sie, nach welcher Zeit die Grenzspannung erreicht wird. (4 BE)
• (c) Skizzieren Sie den Spannungsverlauf $U(t)$ und markieren Sie $\tau$, $t_{1/2}$ und den Alarmzeitpunkt. (4 BE)
• (d) Der Widerstand wird auf $R' = 47\;\text{k}\Omega$ erhöht. Erklären Sie, wie sich die Alarmverzögerung ändert, und berechnen Sie den neuen Zeitpunkt. (5 BE)

Lösungsweg

Schritt 1: Zeitkonstante (a)

Gegeben: $R = 22\;\text{k}\Omega = 22\;000\;\Omega$, $C = 470\;\mu\text{F} = 470 \cdot 10^{-6}\;\text{F}$.

$\tau = R \cdot C = 22\;000\;\Omega \cdot 470 \cdot 10^{-6}\;\text{F}$

$\tau = 10{,}34\;\text{s} \approx 10{,}3\;\text{s}$

$\boxed{\tau \approx 10{,}3\;\text{s}}$

Schritt 2: Zeitpunkt der Grenzspannung (b)

Gegeben: $U_0 = 9{,}0\;\text{V}$, $U_{\text{grenz}} = 3{,}0\;\text{V}$, $\tau = 10{,}34\;\text{s}$.

Ansatz mit der Entladekurve:

$U(t) = U_0 \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}$

Setze $U(t) = U_{\text{grenz}}$:

$3{,}0\;\text{V} = 9{,}0\;\text{V} \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}$

$\frac{3{,}0}{9{,}0} = e^{-\frac{t}{\tau}}$

$\frac{1}{3} = e^{-\frac{t}{\tau}}$

Logarithmieren:

$\ln\!\left(\frac{1}{3}\right) = -\frac{t}{\tau}$

$-\ln(3) = -\frac{t}{\tau}$

$t = \tau \cdot \ln(3) = 10{,}34\;\text{s} \cdot 1{,}099$

$t \approx 11{,}4\;\text{s}$

$\boxed{t \approx 11{,}4\;\text{s}}$

Schritt 3: Skizze des Spannungsverlaufs (c)

Der Spannungsverlauf $U(t) = U_0 \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}$ ist eine fallende Exponentialfunktion. Die Skizze muss folgende Elemente enthalten:

1. Achsen: $t$-Achse (horizontal) und $U$-Achse (vertikal, bis $U_0 = 9{,}0\;\text{V}$).

2. Startpunkt: $U(0) = U_0 = 9{,}0\;\text{V}$.

3. Zeitkonstante $\tau \approx 10{,}3\;\text{s}$: Nach einer Zeitkonstante ist die Spannung auf $U(\tau) = U_0 \cdot e^{-1} \approx 0{,}368 \cdot 9{,}0\;\text{V} \approx 3{,}3\;\text{V}$ gefallen. Man zeichnet die Tangente im Startpunkt ein, die die $t$-Achse bei $t = \tau$ schneidet.

4. Halbwertszeit $t_{1/2}$: Die Spannung ist auf $\frac{U_0}{2} = 4{,}5\;\text{V}$ gefallen:

$t_{1/2} = \tau \cdot \ln(2) = 10{,}34\;\text{s} \cdot 0{,}693 \approx 7{,}2\;\text{s}$

5. Alarmzeitpunkt: Bei $t \approx 11{,}4\;\text{s}$ wird $U_{\text{grenz}} = 3{,}0\;\text{V}$ erreicht. Man zeichnet eine horizontale Linie bei $3{,}0\;\text{V}$ und markiert den Schnittpunkt mit der Kurve.

6. Kurve: Fällt steil ab, wird dann flacher und nähert sich asymptotisch der $t$-Achse.

$\boxed{\tau \approx 10{,}3\;\text{s},\quad t_{1/2} \approx 7{,}2\;\text{s},\quad t_{\text{Alarm}} \approx 11{,}4\;\text{s}}$

Schritt 4: Erhöhter Widerstand (d)

Gegeben: $R' = 47\;\text{k}\Omega = 47\;000\;\Omega$.

Erklärung: Ein größerer Widerstand begrenzt den Entladestrom stärker. Der Kondensator entlädt sich langsamer, die Zeitkonstante wird größer und die Grenzspannung wird später erreicht. Die Alarmverzögerung nimmt zu.

Neue Zeitkonstante:

$\tau' = R' \cdot C = 47\;000\;\Omega \cdot 470 \cdot 10^{-6}\;\text{F} = 22{,}09\;\text{s}$

Neuer Alarmzeitpunkt:

$t' = \tau' \cdot \ln(3) = 22{,}09\;\text{s} \cdot 1{,}099$

$t' \approx 24{,}3\;\text{s}$

Die Alarmverzögerung hat sich von $11{,}4\;\text{s}$ auf $24{,}3\;\text{s}$ mehr als verdoppelt. Dies entspricht dem Verhältnis der Widerstände:

$\frac{t'}{t} = \frac{\tau'}{\tau} = \frac{R'}{R} = \frac{47}{22} \approx 2{,}14$

$\boxed{t' \approx 24{,}3\;\text{s} \quad (\text{Alarmverzögerung mehr als verdoppelt})}$

Ergebnis

Frage	Antwort
Zeitkonstante $\tau$	$10{,}3\;\text{s}$
Alarmzeitpunkt	$t \approx 11{,}4\;\text{s}$
Halbwertszeit $t_{1/2}$	$\approx 7{,}2\;\text{s}$
Neuer Alarmzeitpunkt ($R' = 47\;\text{k}\Omega$)	$t' \approx 24{,}3\;\text{s}$ (mehr als verdoppelt)