Induktiver Sensor zur Geschwindigkeitsmessung (ABS)

Aufgabenstellung

Ein induktiver Sensor misst die Drehzahl eines Zahnrads im ABS-System eines Fahrzeugs. Das Zahnrad besitzt $z = 48$ Zähne und ist fest mit einem Rad vom Durchmesser $d = 0{,}60\;\text{m}$ verbunden. Der Sensor besteht aus einem Permanentmagneten mit einer Spule und ist dicht am Zahnrad angebracht. Wenn ein Zahn den Sensor passiert, ändert sich der magnetische Fluss durch die Spule.

(a) Erklären Sie das Funktionsprinzip des induktiven Sensors unter Verwendung des Faradayschen Induktionsgesetzes. (4 BE)
(b) Das Fahrzeug fährt mit $v = 100\;\frac{\text{km}}{\text{h}}$ . Berechnen Sie die Drehfrequenz des Rades und die Frequenz des Sensorsignals. (4 BE)
(c) Bei höherer Geschwindigkeit wird die Amplitude der Induktionsspannung größer. Erklären Sie diesen Zusammenhang. (3 BE)
(d) Vergleichen Sie den induktiven Sensor mit einem Hall-Sensor hinsichtlich Funktionsprinzip und Eignung für die Geschwindigkeitsmessung. (4 BE)

Lösungsweg

Schritt 1: Funktionsprinzip des induktiven Sensors (a)

Der induktive Sensor nutzt das Faradaysche Induktionsgesetz:

$U_{\text{ind}} = -n \cdot \frac{\Delta \Phi}{\Delta t}$

Das Funktionsprinzip im Detail:

Permanentmagnet und Spule: Der Sensor enthält einen Permanentmagneten, der ein statisches Magnetfeld erzeugt. Um den Magneten ist eine Spule mit $n$ Windungen gewickelt.
Flussänderung durch Zahnrad: Das Zahnrad besteht aus ferromagnetischem Material (Stahl). Wenn ein Zahn den Sensor passiert, wird der magnetische Kreis geschlossen — der magnetische Fluss $\Phi$ durch die Spule steigt an, da das Eisen den Fluss bündelt. Wenn eine Zahnlücke den Sensor passiert, ist der magnetische Widerstand größer — der Fluss sinkt.
Induzierte Spannung: Durch die periodische Änderung des magnetischen Flusses $\frac{\Delta \Phi}{\Delta t}$ wird nach dem Faradayschen Gesetz eine Wechselspannung in der Spule induziert.
Frequenz: Pro Zahn erfolgt eine vollständige Flussänderung (Anstieg und Abfall). Die Frequenz der induzierten Spannung ist daher proportional zur Drehzahl und zur Zähnezahl.

$\boxed{\text{Zähne ändern periodisch den magnetischen Fluss → Induktionsspannung proportional zur Drehzahl}}$

Schritt 2: Drehfrequenz und Signalfrequenz (b)

Umrechnung der Geschwindigkeit:

$v = 100\;\frac{\text{km}}{\text{h}} = \frac{100}{3{,}6}\;\frac{\text{m}}{\text{s}} \approx 27{,}78\;\frac{\text{m}}{\text{s}}$

Radumfang:

$U_{\text{Rad}} = \pi \cdot d = \pi \cdot 0{,}60\;\text{m} \approx 1{,}885\;\text{m}$

Drehfrequenz des Rades:

$n_{\text{Rad}} = \frac{v}{U_{\text{Rad}}} = \frac{27{,}78\;\frac{\text{m}}{\text{s}}}{1{,}885\;\text{m}}$

$\boxed{n_{\text{Rad}} \approx 14{,}7\;\text{s}^{-1} \approx 14{,}7\;\text{Hz}}$

Frequenz des Sensorsignals:

Pro Umdrehung passieren $z = 48$ Zähne den Sensor:

$f_{\text{Sensor}} = z \cdot n_{\text{Rad}} = 48 \cdot 14{,}7\;\text{Hz}$

$\boxed{f_{\text{Sensor}} \approx 707\;\text{Hz}}$

Schritt 3: Amplitude bei höherer Geschwindigkeit (c)

Die Amplitude der Induktionsspannung wird bei höherer Geschwindigkeit größer. Dies ergibt sich direkt aus dem Induktionsgesetz:

$U_{\text{ind}} = -n \cdot \frac{\Delta \Phi}{\Delta t}$

Bei höherer Geschwindigkeit passieren die Zähne den Sensor schneller. Die Änderung des magnetischen Flusses $\Delta \Phi$ pro Zahn bleibt dabei nahezu gleich (gleiche Geometrie), aber die Zeitspanne $\Delta t$ , in der diese Änderung stattfindet, wird kürzer.

Da der Quotient $\frac{\Delta \Phi}{\Delta t}$ bei kleinerem $\Delta t$ größer wird, steigt die induzierte Spannung:

$|\,U_{\text{ind}}\,| \propto \frac{1}{\Delta t} \propto v$

Die Amplitude ist also proportional zur Geschwindigkeit (bzw. zur Drehzahl). Bei doppelter Geschwindigkeit verdoppelt sich die Amplitude.

$\boxed{U_{\text{ind}} \propto v \text{, da } \Delta t \text{ bei höherer Geschwindigkeit sinkt und } \frac{\Delta \Phi}{\Delta t} \text{ steigt}}$

Schritt 4: Vergleich induktiver Sensor vs. Hall-Sensor (d)

Kriterium	Induktiver Sensor	Hall-Sensor
Physikalisches Prinzip	Elektromagnetische Induktion: Flussänderung erzeugt Spannung	Hall-Effekt: Magnetfeld lenkt Ladungsträger ab → Hall-Spannung
Energieversorgung	Passiv — erzeugt selbst eine Spannung	Aktiv — benötigt Versorgungsspannung
Signal bei Stillstand	Kein Signal bei $v = 0$ , da $\frac{\Delta \Phi}{\Delta t} = 0$	Signal auch bei Stillstand möglich, da die Hall-Spannung vom Feld abhängt, nicht von dessen Änderung
Geschwindigkeitsabhängigkeit	Amplitude nimmt mit Drehzahl zu → bei niedrigen Drehzahlen schwaches Signal	Konstante Amplitude, unabhängig von der Drehzahl
Eignung für ABS	Gut bei mittleren/hohen Drehzahlen; problematisch bei sehr niedrigen Drehzahlen	Besser geeignet, da auch bei langsamer Fahrt und Stillstand zuverlässige Signale

Fazit: Der Hall-Sensor ist für moderne ABS-Systeme besser geeignet, da er auch bei niedrigen Geschwindigkeiten und im Stand ein zuverlässiges Signal liefert. Induktive Sensoren werden jedoch wegen ihrer Robustheit und geringeren Kosten weiterhin eingesetzt.

$\boxed{\text{Hall-Sensor: auch bei } v = 0 \text{ Signal; induktiver Sensor: robust, aber kein Signal bei Stillstand}}$

Ergebnis

Frage	Antwort
Funktionsprinzip	Zahnrad ändert periodisch magn. Fluss → Induktionsspannung
Drehfrequenz des Rades	$n_{\text{Rad}} \approx 14{,}7\;\text{Hz}$
Frequenz Sensorsignal	$f_{\text{Sensor}} \approx 707\;\text{Hz}$
Amplitude vs. Geschwindigkeit	$U_{\text{ind}} \propto v$ , da $\Delta t$ bei höherem $v$ sinkt
Vergleich mit Hall-Sensor	Hall-Sensor: Signal bei $v = 0$ ; induktiv: robust, kostengünstig