Fortgeschritten Komplexaufgabe 15 Punkte ~30 Min. Natur & Technik

Fotoeffekt: Austrittsarbeit und Gegenfeldmethode

Zur Lektion: Fotoeffekt und Lichtquanten verstehen

Aufgabenstellung

Eine Photokathode aus Cäsium (Austrittsarbeit WA=2,14  eVW_A = 2{,}14\;\text{eV}) wird mit monochromatischem Licht der Wellenlänge λ=400  nm\lambda = 400\;\text{nm} bestrahlt.

  • (a) Berechnen Sie die Energie eines Photons dieser Wellenlänge. (3 BE)
  • (b) Bestimmen Sie die maximale kinetische Energie der ausgelösten Elektronen. (3 BE)
  • (c) Berechnen Sie die Grenzwellenlänge, unterhalb derer der Fotoeffekt bei Cäsium auftritt. (4 BE)
  • (d) Bei der Gegenfeldmethode wird eine Gegenspannung UGU_G angelegt, die die schnellsten Elektronen gerade abbremst. Leiten Sie den Zusammenhang zwischen UGU_G und der Lichtfrequenz ff her und beschreiben Sie das Diagramm UG(f)U_G(f). (5 BE)

Lösungsweg

Schritt 1: Photonenenergie (a)

Die Energie eines Photons berechnet sich aus:

EPh=h⋅cλE_{\text{Ph}} = \frac{h \cdot c}{\lambda}

Mit den Konstanten h=6,626⋅10−34  J\cdotpsh = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\;\text{J·s} und c=3,00⋅108  msc = 3{,}00 \cdot 10^8\;\frac{\text{m}}{\text{s}}:

EPh=6,626⋅10−34⋅3,00⋅108400⋅10−9  JE_{\text{Ph}} = \frac{6{,}626 \cdot 10^{-34} \cdot 3{,}00 \cdot 10^8}{400 \cdot 10^{-9}}\;\text{J}

EPh=1,988⋅10−254,00⋅10−7  J=4,969⋅10−19  JE_{\text{Ph}} = \frac{1{,}988 \cdot 10^{-25}}{4{,}00 \cdot 10^{-7}}\;\text{J} = 4{,}969 \cdot 10^{-19}\;\text{J}

Umrechnung in Elektronenvolt (1  eV=1,602⋅10−19  J1\;\text{eV} = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\;\text{J}):

EPh=4,969⋅10−191,602⋅10−19  eV=3,10  eVE_{\text{Ph}} = \frac{4{,}969 \cdot 10^{-19}}{1{,}602 \cdot 10^{-19}}\;\text{eV} = 3{,}10\;\text{eV}

EPh=4,97⋅10−19  J≈3,10  eV\boxed{E_{\text{Ph}} = 4{,}97 \cdot 10^{-19}\;\text{J} \approx 3{,}10\;\text{eV}}

Schritt 2: Maximale kinetische Energie (b)

Nach der Einsteinschen Gleichung des Fotoeffekts gilt:

Ekin,max=EPh−WA=h⋅f−WAE_{\text{kin,max}} = E_{\text{Ph}} - W_A = h \cdot f - W_A

Die gesamte Energie des Photons wird auf das Elektron übertragen. Ein Teil davon wird benötigt, um die Austrittsarbeit WAW_A zu überwinden (Bindungsenergie des Elektrons im Metall). Der Rest steht als kinetische Energie zur Verfügung.

Ekin,max=3,10  eV−2,14  eV=0,96  eVE_{\text{kin,max}} = 3{,}10\;\text{eV} - 2{,}14\;\text{eV} = 0{,}96\;\text{eV}

Umrechnung in Joule:

Ekin,max=0,96⋅1,602⋅10−19  J=1,54⋅10−19  JE_{\text{kin,max}} = 0{,}96 \cdot 1{,}602 \cdot 10^{-19}\;\text{J} = 1{,}54 \cdot 10^{-19}\;\text{J}

Hinweis: Dies ist die maximale kinetische Energie — sie gilt für Elektronen direkt an der Oberfläche. Elektronen aus tieferen Schichten verlieren zusätzlich Energie durch Stöße und haben eine geringere kinetische Energie.

Ekin,max=0,96  eV=1,54⋅10−19  J\boxed{E_{\text{kin,max}} = 0{,}96\;\text{eV} = 1{,}54 \cdot 10^{-19}\;\text{J}}

Schritt 3: Grenzwellenlänge (c)

Die Grenzwellenlänge λgrenz\lambda_{\text{grenz}} ist die maximale Wellenlänge, bei der der Fotoeffekt gerade noch auftritt. An der Grenze gilt Ekin,max=0E_{\text{kin,max}} = 0, d. h. die gesamte Photonenenergie wird für die Austrittsarbeit benötigt:

EPh=WA⇒h⋅cλgrenz=WAE_{\text{Ph}} = W_A \quad \Rightarrow \quad \frac{h \cdot c}{\lambda_{\text{grenz}}} = W_A

λgrenz=h⋅cWA\lambda_{\text{grenz}} = \frac{h \cdot c}{W_A}

Umrechnung der Austrittsarbeit in Joule:

WA=2,14  eV=2,14⋅1,602⋅10−19  J=3,428⋅10−19  JW_A = 2{,}14\;\text{eV} = 2{,}14 \cdot 1{,}602 \cdot 10^{-19}\;\text{J} = 3{,}428 \cdot 10^{-19}\;\text{J}

λgrenz=6,626⋅10−34⋅3,00⋅1083,428⋅10−19  m\lambda_{\text{grenz}} = \frac{6{,}626 \cdot 10^{-34} \cdot 3{,}00 \cdot 10^8}{3{,}428 \cdot 10^{-19}}\;\text{m}

λgrenz=1,988⋅10−253,428⋅10−19  m=5,80⋅10−7  m\lambda_{\text{grenz}} = \frac{1{,}988 \cdot 10^{-25}}{3{,}428 \cdot 10^{-19}}\;\text{m} = 5{,}80 \cdot 10^{-7}\;\text{m}

λgrenz=580  nm (gelbes Licht)\boxed{\lambda_{\text{grenz}} = 580\;\text{nm} \text{ (gelbes Licht)}}

Interpretation: Licht mit λ>580  nm\lambda > 580\;\text{nm} (z. B. oranges oder rotes Licht) kann bei Cäsium keinen Fotoeffekt auslösen, da die Photonenenergie kleiner als die Austrittsarbeit ist. Licht mit λ<580  nm\lambda < 580\;\text{nm} (grün, blau, violett, UV) löst den Fotoeffekt aus.

Die Grenzfrequenz beträgt:

fgrenz=cλgrenz=3,00⋅1085,80⋅10−7  Hz=5,17⋅1014  Hzf_{\text{grenz}} = \frac{c}{\lambda_{\text{grenz}}} = \frac{3{,}00 \cdot 10^8}{5{,}80 \cdot 10^{-7}}\;\text{Hz} = 5{,}17 \cdot 10^{14}\;\text{Hz}

Schritt 4: Gegenfeldmethode und UG(f)U_G(f)-Diagramm (d)

Bei der Gegenfeldmethode wird zwischen Kathode und Anode eine Gegenspannung UGU_G angelegt, die die ausgelösten Elektronen abbremst. Die Spannung wird so eingestellt, dass selbst die schnellsten Elektronen die Anode gerade nicht mehr erreichen.

Herleitung: An der Grenze gilt Energieerhaltung — die kinetische Energie wird vollständig in potentielle Energie im elektrischen Feld umgewandelt:

e⋅UG=Ekin,maxe \cdot U_G = E_{\text{kin,max}}

Mit der Einsteinschen Gleichung:

e⋅UG=h⋅f−WAe \cdot U_G = h \cdot f - W_A

Auflösen nach UGU_G:

UG=he⋅f−WAeU_G = \frac{h}{e} \cdot f - \frac{W_A}{e}

Dies ist eine lineare Funktion von ff der Form UG(f)=m⋅f+bU_G(f) = m \cdot f + b mit:

  • Steigung: m=he=6,626⋅10−341,602⋅10−19=4,14⋅10−15  VHz=4,14⋅10−15  V\cdotpsm = \frac{h}{e} = \frac{6{,}626 \cdot 10^{-34}}{1{,}602 \cdot 10^{-19}} = 4{,}14 \cdot 10^{-15}\;\frac{\text{V}}{\text{Hz}} = 4{,}14 \cdot 10^{-15}\;\text{V·s}
  • yy-Achsenabschnitt: b=−WAe=−2,14  Vb = -\frac{W_A}{e} = -2{,}14\;\text{V}
  • Nullstelle (UG=0U_G = 0): bei der Grenzfrequenz fgrenz=WAh=5,17⋅1014  Hzf_{\text{grenz}} = \frac{W_A}{h} = 5{,}17 \cdot 10^{14}\;\text{Hz}

Beschreibung des Diagramms UG(f)U_G(f):

Das Diagramm zeigt eine Gerade mit positiver Steigung:

  1. Für f<fgrenzf < f_{\text{grenz}} findet kein Fotoeffekt statt — es gibt keine Messwerte (UGU_G ist nicht definiert).
  2. Bei f=fgrenz=5,17⋅1014  Hzf = f_{\text{grenz}} = 5{,}17 \cdot 10^{14}\;\text{Hz} beginnt die Gerade bei UG=0  VU_G = 0\;\text{V} — die Elektronen werden gerade noch ausgelöst, haben aber keine kinetische Energie.
  3. Für f>fgrenzf > f_{\text{grenz}} steigt UGU_G linear an. Höhere Frequenz bedeutet energiereichere Photonen und damit schnellere Elektronen, die eine größere Gegenspannung erfordern.
  4. Die Steigung der Geraden beträgt he\frac{h}{e} und ist materialunabhängig — sie ist für alle Kathodenmaterialien gleich. Dies war ein entscheidender Beleg für Einsteins Lichtquantenhypothese.
  5. Der yy-Achsenabschnitt −WAe-\frac{W_A}{e} ist materialabhängig und erlaubt die Bestimmung der Austrittsarbeit.

Für das verwendete Licht (λ=400  nm\lambda = 400\;\text{nm}, f=7,50⋅1014  Hzf = 7{,}50 \cdot 10^{14}\;\text{Hz}):

UG=0,96  eVe=0,96  VU_G = \frac{0{,}96\;\text{eV}}{e} = 0{,}96\;\text{V}

UG=he⋅f−WAe — lineare Gerade, Steigung he, Nullstelle bei fgrenz\boxed{U_G = \frac{h}{e} \cdot f - \frac{W_A}{e} \text{ — lineare Gerade, Steigung } \frac{h}{e}\text{, Nullstelle bei } f_{\text{grenz}}}

Ergebnis

FrageAntwort
Photonenenergie (400  nm400\;\text{nm})E=3,10  eVE = 3{,}10\;\text{eV}
Max. kinetische EnergieEkin,max=0,96  eVE_{\text{kin,max}} = 0{,}96\;\text{eV}
Grenzwellenlänge Cäsiumλgrenz=580  nm\lambda_{\text{grenz}} = 580\;\text{nm} (gelbes Licht)
GegenfeldmethodeUG=he⋅f−WAeU_G = \frac{h}{e} \cdot f - \frac{W_A}{e}; Gerade mit Steigung he\frac{h}{e}
Gegenspannung bei 400  nm400\;\text{nm}UG=0,96  VU_G = 0{,}96\;\text{V}

Schlagwörter

fotoeffektphotonaustrittsarbeitgegenfeldmethodequantenphysik