Energieumwandlung auf der Achterbahn

Aufgabenstellung

Ein Achterbahnwagen mit der Masse $m = 500 \, \text{kg}$ startet aus der Ruhe an der höchsten Stelle der Bahn in einer Höhe von $h_1 = 40 \, \text{m}$. Reibung und Luftwiderstand werden zunächst vernachlässigt.

Gegeben:

• Masse: $m = 500 \, \text{kg}$
• Starthöhe: $h_1 = 40 \, \text{m}$
• Anfangsgeschwindigkeit: $v_0 = 0 \, \frac{\text{m}}{\text{s}}$
• Erdbeschleunigung: $g = 9{,}81 \, \frac{\text{m}}{\text{s}^2}$

Gesucht:

• (a) Die Geschwindigkeit $v_1$ am tiefsten Punkt der Bahn ($h = 0$).
• (b) Die Geschwindigkeit $v_2$ an einem Punkt in der Höhe $h_2 = 15 \, \text{m}$.
• (c) Diskussion: Welchen Einfluss haben Reibungsverluste auf die realen Geschwindigkeiten?

Lösungsweg

Schritt 1: Energieerhaltungssatz aufstellen

Ohne Reibung gilt der Energieerhaltungssatz:

$E_{\text{pot}} + E_{\text{kin}} = \text{const.}$

Am Startpunkt hat der Wagen nur potentielle Energie (da $v_0 = 0$):

$E_{\text{gesamt}} = m \cdot g \cdot h_1 = 500 \, \text{kg} \cdot 9{,}81 \, \frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 40 \, \text{m}$

$\boxed{E_{\text{gesamt}} = 196\,200 \, \text{J} = 196{,}2 \, \text{kJ}}$

Schritt 2: Geschwindigkeit am tiefsten Punkt

Am tiefsten Punkt ($h = 0$) ist die gesamte potentielle Energie in kinetische Energie umgewandelt:

$m \cdot g \cdot h_1 = \frac{1}{2} \, m \, v_1^2$

Die Masse $m$ kürzt sich heraus:

$g \cdot h_1 = \frac{1}{2} \, v_1^2$

$v_1 = \sqrt{2 \, g \, h_1} = \sqrt{2 \cdot 9{,}81 \, \frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 40 \, \text{m}}$

$v_1 = \sqrt{784{,}8 \, \frac{\text{m}^2}{\text{s}^2}}$

$\boxed{v_1 \approx 28{,}0 \, \frac{\text{m}}{\text{s}} \approx 100{,}8 \, \frac{\text{km}}{\text{h}}}$

Wichtige Erkenntnis: Die Geschwindigkeit am tiefsten Punkt ist unabhängig von der Masse des Wagens!

Schritt 3: Geschwindigkeit auf Höhe 15 m

Auf der Höhe $h_2 = 15 \, \text{m}$ gilt:

$m \cdot g \cdot h_1 = m \cdot g \cdot h_2 + \frac{1}{2} \, m \, v_2^2$

Wieder kürzt sich $m$:

$g \cdot (h_1 - h_2) = \frac{1}{2} \, v_2^2$

$v_2 = \sqrt{2 \, g \, (h_1 - h_2)} = \sqrt{2 \cdot 9{,}81 \cdot (40 - 15)} \, \frac{\text{m}}{\text{s}}$

$v_2 = \sqrt{2 \cdot 9{,}81 \cdot 25} \, \frac{\text{m}}{\text{s}} = \sqrt{490{,}5} \, \frac{\text{m}}{\text{s}}$

$\boxed{v_2 \approx 22{,}1 \, \frac{\text{m}}{\text{s}} \approx 79{,}7 \, \frac{\text{km}}{\text{h}}}$

Schritt 4: Energieverteilung auf Höhe 15 m

Zur Veranschaulichung berechnen wir die Energieaufteilung bei $h_2 = 15 \, \text{m}$:

$E_{\text{pot}} = m \cdot g \cdot h_2 = 500 \cdot 9{,}81 \cdot 15 \, \text{J} = 73\,575 \, \text{J}$

$E_{\text{kin}} = \frac{1}{2} \, m \, v_2^2 = \frac{1}{2} \cdot 500 \cdot 22{,}1^2 \, \text{J} \approx 122\,103 \, \text{J}$

Probe: $E_{\text{pot}} + E_{\text{kin}} = 73\,575 + 122\,103 \approx 195\,678 \, \text{J} \approx 196\,200 \, \text{J}$ ✓

(Die kleine Abweichung entsteht durch Rundung.)

Schritt 5: Diskussion der Energieverluste

In der Realität treten Energieverluste auf durch:

• Reibung zwischen Rädern und Schiene (Wärmeenergie)
• Luftwiderstand (Wärmeenergie und Verwirbelung)
• Verformung der Schiene und des Wagens (Verformungsenergie)

Der Energieerhaltungssatz wird erweitert:

$E_{\text{pot,Start}} = E_{\text{kin}} + E_{\text{pot}} + E_{\text{Verlust}}$

Folgen der Energieverluste:

• Die tatsächlichen Geschwindigkeiten sind geringer als die berechneten Idealwerte.
• Der Wagen kann eine Anhöhe, die genauso hoch ist wie der Startpunkt, nicht erreichen.
• Die Differenz $\Delta E = E_{\text{gesamt}} - (E_{\text{kin}} + E_{\text{pot}})$ wird als Wärme an die Umgebung abgegeben.

Ergebnis

Größe	Idealwert (ohne Reibung)
Gesamtenergie am Start	$E = 196{,}2 \, \text{kJ}$
Geschwindigkeit am tiefsten Punkt	$v_1 \approx 28{,}0 \, \frac{\text{m}}{\text{s}} \approx 100{,}8 \, \frac{\text{km}}{\text{h}}$
Geschwindigkeit auf $15 \, \text{m}$ Höhe	$v_2 \approx 22{,}1 \, \frac{\text{m}}{\text{s}} \approx 79{,}7 \, \frac{\text{km}}{\text{h}}$

In der Realität sind die Geschwindigkeiten durch Reibungsverluste stets kleiner als die hier berechneten Idealwerte.