De-Broglie-Wellenlänge und Elektronenbeugung am Doppelspalt

Aufgabenstellung

In einem Experiment nach Jönsson (1961) werden Elektronen durch eine Beschleunigungsspannung $U = 50\;\text{kV}$ beschleunigt und anschließend auf einen Doppelspalt gelenkt. Hinter dem Doppelspalt befindet sich ein Detektor, der die einzelnen Elektronen ortsaufgelöst registriert.

Gegeben: Elektronenmasse $m_e = 9{,}109 \cdot 10^{-31}\;\text{kg}$, Elementarladung $e = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\;\text{C}$, Plancksches Wirkungsquantum $h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}\;\text{J}\cdot\text{s}$.

• (a) Berechnen Sie die Geschwindigkeit der Elektronen nach Durchlaufen der Beschleunigungsspannung. Verwenden Sie die nicht-relativistische Näherung. (3 BE)
• (b) Berechnen Sie die de-Broglie-Wellenlänge der beschleunigten Elektronen. (3 BE)
• (c) Am Detektor wird ein Interferenzmuster beobachtet, obwohl die Elektronen als einzelne Teilchen auf dem Schirm nachgewiesen werden. Erklären Sie diesen scheinbaren Widerspruch und führen Sie den Begriff des Quantenobjekts ein. (5 BE)
• (d) Die Beschleunigungsspannung wird auf $U' = 100\;\text{kV}$ verdoppelt. Erläutern Sie qualitativ und quantitativ, wie sich das Interferenzmuster verändert. (4 BE)

Lösungsweg

Schritt 1: Geschwindigkeit der Elektronen (a)

Die kinetische Energie der Elektronen nach der Beschleunigung entspricht der elektrischen Arbeit:

$eU = \frac{1}{2}m_e v^2$

Umstellen nach $v$:

$v = \sqrt{\frac{2eU}{m_e}}$

Einsetzen der Werte:

$v = \sqrt{\frac{2 \cdot 1{,}602 \cdot 10^{-19}\;\text{C} \cdot 50\,000\;\text{V}}{9{,}109 \cdot 10^{-31}\;\text{kg}}}$

$v = \sqrt{\frac{1{,}602 \cdot 10^{-14}\;\text{J}}{9{,}109 \cdot 10^{-31}\;\text{kg}}} = \sqrt{1{,}759 \cdot 10^{16}\;\frac{\text{m}^2}{\text{s}^2}}$

$\boxed{v \approx 1{,}326 \cdot 10^{8}\;\frac{\text{m}}{\text{s}} \approx 0{,}44\,c}$

Hinweis: Bei $v \approx 0{,}44\,c$ ist die nicht-relativistische Näherung bereits grenzwertig. Für eine exakte Rechnung wäre die relativistische Energie-Impuls-Beziehung nötig.

Schritt 2: De-Broglie-Wellenlänge (b)

Nach de Broglie ist jedem Teilchen mit dem Impuls $p = m_e \cdot v$ eine Wellenlänge zugeordnet:

$\lambda = \frac{h}{m_e \cdot v}$

Einsetzen:

$\lambda = \frac{6{,}626 \cdot 10^{-34}\;\text{J}\cdot\text{s}}{9{,}109 \cdot 10^{-31}\;\text{kg} \cdot 1{,}326 \cdot 10^{8}\;\frac{\text{m}}{\text{s}}}$

$\lambda = \frac{6{,}626 \cdot 10^{-34}}{1{,}208 \cdot 10^{-22}}\;\text{m}$

$\boxed{\lambda \approx 5{,}49 \cdot 10^{-12}\;\text{m} = 5{,}49\;\text{pm}}$

Diese Wellenlänge liegt weit unterhalb des sichtbaren Lichts und ist vergleichbar mit Atomabständen in Kristallen.

Schritt 3: Widerspruch und Quantenobjekt (c)

Beobachtung: Jedes einzelne Elektron wird auf dem Detektor als punktförmiger Treffer an einem bestimmten Ort registriert — es verhält sich bei der Detektion wie ein Teilchen. Gleichzeitig bilden viele einzelne Elektronen nach und nach ein Interferenzmuster mit Maxima und Minima — ein typisches Wellenphänomen.

Scheinbarer Widerspruch: Nach der klassischen Physik sind Teilchen und Wellen grundsätzlich verschiedene Konzepte. Ein Teilchen müsste durch genau einen der beiden Spalte fliegen und dürfte kein Interferenzmuster erzeugen. Eine Welle kann zwar interferieren, wird aber nicht an einem Punkt nachgewiesen.

Auflösung durch das Quantenobjekt: In der Quantenphysik werden Elektronen als Quantenobjekte beschrieben. Ein Quantenobjekt ist weder ein klassisches Teilchen noch eine klassische Welle, sondern ein Objekt eigener Art:

• Die Ausbreitung des Quantenobjekts wird durch eine Wellenfunktion beschrieben. Diese Wellenfunktion breitet sich durch beide Spalte gleichzeitig aus und interferiert mit sich selbst.
• Das Betragsquadrat der Wellenfunktion $|\psi(x)|^2$ gibt die Aufenthaltswahrscheinlichkeit an — also die Wahrscheinlichkeit, das Elektron an einem bestimmten Ort zu detektieren.
• Die Detektion erfolgt stets als einzelnes, unteilbares Ereignis an einem bestimmten Ort. Der genaue Auftreffpunkt ist nicht vorhersagbar, nur die Wahrscheinlichkeitsverteilung.

$\boxed{\text{Quantenobjekt: Wellenartige Ausbreitung, teilchenartige Detektion; } |\psi|^2 \text{ gibt Wahrscheinlichkeit an}}$

Schritt 4: Verdopplung der Spannung (d)

Bei Verdopplung der Spannung auf $U' = 100\;\text{kV}$:

Die de-Broglie-Wellenlänge hängt über die Geschwindigkeit von der Spannung ab. Durch Einsetzen von $v = \sqrt{2eU/m_e}$ in die de-Broglie-Gleichung erhält man:

$\lambda = \frac{h}{m_e \cdot v} = \frac{h}{\sqrt{2m_e \cdot eU}}$

Die Wellenlänge ist also proportional zu $\frac{1}{\sqrt{U}}$:

$\lambda' = \frac{h}{\sqrt{2m_e \cdot eU'}} = \frac{h}{\sqrt{2m_e \cdot e \cdot 2U}} = \frac{\lambda}{\sqrt{2}}$

$\lambda' = \frac{5{,}49\;\text{pm}}{\sqrt{2}} \approx 3{,}88\;\text{pm}$

Auswirkung auf das Interferenzmuster: Der Abstand der Interferenzmaxima beim Doppelspalt ist proportional zur Wellenlänge ($\Delta y \propto \lambda$). Da die Wellenlänge um den Faktor $\frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0{,}71$ abnimmt, rücken die Maxima enger zusammen. Das Interferenzmuster wird feiner und die Abstände der Streifen werden kleiner.

$\boxed{\lambda' = \frac{\lambda}{\sqrt{2}} \approx 3{,}88\;\text{pm} \text{ — die Interferenzstreifen rücken enger zusammen}}$

Ergebnis

Frage	Antwort
Geschwindigkeit	$v \approx 1{,}33 \cdot 10^{8}\;\frac{\text{m}}{\text{s}} \approx 0{,}44\,c$
De-Broglie-Wellenlänge	$\lambda \approx 5{,}49\;\text{pm}$
Quantenobjekt	Wellenartige Ausbreitung, teilchenartige Detektion; $
Verdopplung der Spannung	$\lambda' = \frac{\lambda}{\sqrt{2}} \approx 3{,}88\;\text{pm}$; Maxima rücken enger zusammen