Coulombsches Gesetz: Kraftmessung zwischen geladenen Kugeln

Aufgabenstellung

Zwei kleine Metallkugeln tragen die Ladungen $Q_1 = 3{,}0\;\mu\text{C}$ und $Q_2 = 5{,}0\;\mu\text{C}$. Sie werden in verschiedenen Abständen $r$ fixiert und die abstoßende Kraft $F$ zwischen ihnen gemessen. Die Coulomb-Konstante beträgt $k = 8{,}99 \cdot 10^9\;\frac{\text{N}\cdot\text{m}^2}{\text{C}^2}$.

$r$ in m	$0{,}05$	$0{,}10$	$0{,}15$	$0{,}20$	$0{,}30$
$F$ in N	$53{,}9$	$13{,}5$	$6{,}0$	$3{,}4$	$1{,}5$

• (a) Berechnen Sie die Coulomb-Kraft bei einem Abstand von $r = 0{,}10\;\text{m}$. (4 BE)
• (b) Erklären Sie, warum die Kraft quadratisch mit dem Abstand abnimmt. Zeigen Sie, dass eine Auftragung von $F$ gegen $\frac{1}{r^2}$ eine Gerade ergibt. (4 BE)
• (c) Erläutern Sie das Phänomen der Influenz: Was geschieht, wenn eine ungeladene Metallkugel zwischen die beiden geladenen Kugeln gebracht wird? (4 BE)
• (d) In einer Messung wird bei $r = 0{,}05\;\text{m}$ eine um $12\,\%$ geringere Kraft als berechnet gemessen. Diskutieren Sie mögliche systematische Fehlerquellen. (3 BE)

Lösungsweg

Schritt 1: Berechnung der Coulomb-Kraft (a)

Das Coulombsche Gesetz lautet:

$F = k \cdot \frac{Q_1 \cdot Q_2}{r^2}$

Einsetzen der gegebenen Werte mit $Q_1 = 3{,}0\;\mu\text{C} = 3{,}0 \cdot 10^{-6}\;\text{C}$ und $Q_2 = 5{,}0\;\mu\text{C} = 5{,}0 \cdot 10^{-6}\;\text{C}$:

$F = 8{,}99 \cdot 10^9\;\frac{\text{N}\cdot\text{m}^2}{\text{C}^2} \cdot \frac{3{,}0 \cdot 10^{-6}\;\text{C} \cdot 5{,}0 \cdot 10^{-6}\;\text{C}}{(0{,}10\;\text{m})^2}$

$F = 8{,}99 \cdot 10^9 \cdot \frac{15{,}0 \cdot 10^{-12}}{0{,}010}$

$F = 8{,}99 \cdot 10^9 \cdot 1{,}50 \cdot 10^{-9}\;\text{N}$

$\boxed{F = 13{,}5\;\text{N}}$

Schritt 2: Quadratische Abstandsabhängigkeit und Linearisierung (b)

Warum nimmt die Kraft quadratisch ab?

Die Coulomb-Kraft breitet sich im dreidimensionalen Raum aus. Die elektrischen Feldlinien einer Punktladung verteilen sich gleichmäßig auf Kugeloberflächen mit der Fläche $A = 4\pi r^2$. Da die Feldliniendichte (und damit die Feldstärke) mit der Oberfläche abnimmt, ergibt sich die $\frac{1}{r^2}$-Abhängigkeit:

$F \propto \frac{1}{r^2}$

Linearisierung:

Das Coulombsche Gesetz kann umgeschrieben werden als:

$F = \underbrace{k \cdot Q_1 \cdot Q_2}_{= \text{const.}} \cdot \frac{1}{r^2}$

Setzt man $x = \frac{1}{r^2}$, so erhält man:

$F = (k \cdot Q_1 \cdot Q_2) \cdot x$

Dies ist eine lineare Funktion der Form $F = m \cdot x$ mit der Steigung:

$m = k \cdot Q_1 \cdot Q_2 = 8{,}99 \cdot 10^9 \cdot 3{,}0 \cdot 10^{-6} \cdot 5{,}0 \cdot 10^{-6} = 0{,}1349\;\text{N}\cdot\text{m}^2$

Eine Auftragung von $F$ gegen $\frac{1}{r^2}$ ergibt somit eine Ursprungsgerade.

$\boxed{F\text{-}\frac{1}{r^2}\text{-Diagramm ergibt Ursprungsgerade mit Steigung } m = k \cdot Q_1 \cdot Q_2 \approx 0{,}135\;\text{N}\cdot\text{m}^2}$

Schritt 3: Influenz (c)

Wenn eine ungeladene Metallkugel zwischen die beiden positiv geladenen Kugeln gebracht wird, tritt Influenz (elektrostatische Induktion) auf:

1. Ladungsverschiebung: Die frei beweglichen Elektronen im Metall der ungeladenen Kugel werden durch die elektrischen Felder der beiden geladenen Kugeln beeinflusst. Die Elektronen verschieben sich in Richtung der jeweils näheren geladenen Kugel und erzeugen dort eine negative Oberflächenladung. Auf der gegenüberliegenden Seite entsteht ein positiver Ladungsüberschuss.

2. Dipolbildung: Die ungeladene Kugel wird zu einem elektrischen Dipol — sie bleibt insgesamt neutral, besitzt aber eine inhomogene Ladungsverteilung.

3. Kraftwirkung: Da die influenzierten negativen Ladungen näher an der jeweiligen positiven Kugel liegen als die positiven Ladungen auf der Rückseite, überwiegt die Anziehung. Die ungeladene Kugel wird von beiden Seiten angezogen.

4. Auswirkung auf die Gesamtkraft: Durch die Influenz wird die effektive Kraft zwischen den beiden geladenen Kugeln verändert (tendenziell verringert), da die influenzierte Kugel das elektrische Feld zwischen ihnen abschirmt.

$\boxed{\text{Influenz erzeugt Dipol auf der neutralen Kugel → Abschirmung des Feldes}}$

Schritt 4: Diskussion systematischer Fehlerquellen (d)

Die gemessene Kraft bei $r = 0{,}05\;\text{m}$ ist um $12\,\%$ geringer als der berechnete Wert. Mögliche systematische Fehlerquellen:

1. Ladungsverteilung auf den Kugeln: Das Coulombsche Gesetz gilt exakt nur für Punktladungen. Bei endlicher Kugelgröße und kleinem Abstand verteilt sich die Ladung auf der Kugeloberfläche nicht mehr gleichmäßig — die Ladungen stoßen sich ab und weichen zur Rückseite aus. Dadurch vergrößert sich der effektive Abstand der Ladungsschwerpunkte, und die gemessene Kraft wird kleiner als berechnet.

2. Ladungsverlust: Bei kleinem Abstand ist die elektrische Feldstärke sehr hoch ($E = \frac{F}{Q}$). Dies kann zu Entladung über die Luft (Koronaentladung) führen, wodurch ein Teil der Ladung verloren geht und die Kraft sinkt.

3. Abstandsmessung: Bei kleinen Abständen wirkt sich ein absoluter Messfehler im Abstand relativ stärker aus. Bereits $\Delta r = 1\;\text{mm}$ Fehler bei $r = 50\;\text{mm}$ verursacht eine Abweichung von ca. $4\,\%$.

$\boxed{\text{Hauptursache: Ladungsumverteilung auf Kugeloberfläche bei kleinem Abstand}}$

Ergebnis

Frage	Antwort
Coulomb-Kraft bei $r = 0{,}10\;\text{m}$	$F = 13{,}5\;\text{N}$
Linearisierung	$F$ gegen $\frac{1}{r^2}$: Ursprungsgerade mit $m = 0{,}135\;\text{N}\cdot\text{m}^2$
Influenz	Ladungsverschiebung → Dipol → Abschirmung des Feldes
Fehlerquelle ($12\,\%$ Abweichung)	Ladungsumverteilung auf Kugeloberfläche, Entladung, Messfehler