Compton-Effekt: Streuung von Röntgenstrahlung an Graphit

Aufgabenstellung

Röntgenstrahlung mit der Wellenlänge $\lambda_0 = 50{,}0\;\text{pm}$ trifft auf eine Graphitprobe. Die gestreute Strahlung wird unter einem Winkel $\theta = 90°$ beobachtet.

• (a) Beschreiben Sie den Compton-Effekt: Was geschieht bei der Streuung des Photons am Elektron? Fertigen Sie eine Skizze an. (4 BE)
• (b) Berechnen Sie die Wellenlängenänderung $\Delta\lambda$ mithilfe der Compton-Formel: $\Delta\lambda = \frac{h}{m_e c}(1 - \cos\theta)$. (4 BE)
• (c) Bestimmen Sie die Wellenlänge und die Energie des gestreuten Photons. (4 BE)
• (d) Erklären Sie, warum der Compton-Effekt als Beleg für den Teilchencharakter des Lichts gilt, und grenzen Sie ihn vom Fotoeffekt ab. (3 BE)

Lösungsweg

Schritt 1: Beschreibung des Compton-Effekts (a)

Beim Compton-Effekt trifft ein Röntgenphoton auf ein (quasi-)freies Elektron in der Graphitprobe. Das Photon wird am Elektron gestreut und gibt dabei einen Teil seiner Energie und seines Impulses an das Elektron ab:

1. Vor dem Stoß: Das Photon hat die Wellenlänge $\lambda_0$, die Energie $E_0 = \frac{hc}{\lambda_0}$ und den Impuls $p_0 = \frac{h}{\lambda_0}$. Das Elektron ruht (näherungsweise).

2. Stoß: Das Photon trifft auf das Elektron. Der Vorgang wird als elastischer Stoß zwischen Teilchen beschrieben, bei dem Energie und Impuls erhalten bleiben.

3. Nach dem Stoß: Das Photon wird unter dem Streuwinkel $\theta$ abgelenkt und hat eine größere Wellenlänge $\lambda' > \lambda_0$ (weniger Energie). Das Elektron wird als Rückstoßelektron unter einem Winkel $\varphi$ herausgeschlagen und trägt die Energiedifferenz als kinetische Energie.

Skizze: Man zeichnet ein einlaufendes Photon (Wellenlinie) von links, das auf ein ruhendes Elektron trifft. Nach dem Stoß fliegt das gestreute Photon (längere Wellenlinie) unter dem Winkel $\theta$ nach oben ab, und das Rückstoßelektron fliegt unter dem Winkel $\varphi$ nach unten rechts.

$\boxed{\text{Photon überträgt Energie und Impuls auf Elektron → größere Wellenlänge}}$

Schritt 2: Wellenlängenänderung (b)

Gegeben: $\theta = 90°$, Compton-Wellenlänge $\frac{h}{m_e c} = 2{,}43\;\text{pm}$.

Die Compton-Formel lautet:

$\Delta\lambda = \frac{h}{m_e c}(1 - \cos\theta)$

Einsetzen:

$\Delta\lambda = 2{,}43\;\text{pm} \cdot (1 - \cos 90°)$

$\Delta\lambda = 2{,}43\;\text{pm} \cdot (1 - 0)$

$\Delta\lambda = 2{,}43\;\text{pm}$

Bei $\theta = 90°$ entspricht die Wellenlängenänderung exakt der Compton-Wellenlänge des Elektrons. Dies ist kein Zufall, sondern folgt direkt aus $\cos 90° = 0$.

$\boxed{\Delta\lambda = 2{,}43\;\text{pm}}$

Schritt 3: Wellenlänge und Energie des gestreuten Photons (c)

Wellenlänge:

$\lambda' = \lambda_0 + \Delta\lambda = 50{,}0\;\text{pm} + 2{,}43\;\text{pm} = 52{,}43\;\text{pm}$

$\lambda' = 52{,}43\;\text{pm} = 52{,}43 \cdot 10^{-12}\;\text{m}$

Energie des gestreuten Photons:

$E' = \frac{hc}{\lambda'} = \frac{6{,}626 \cdot 10^{-34}\;\text{J\,s} \cdot 3{,}0 \cdot 10^{8}\;\frac{\text{m}}{\text{s}}}{52{,}43 \cdot 10^{-12}\;\text{m}}$

$E' = \frac{1{,}988 \cdot 10^{-25}}{52{,}43 \cdot 10^{-12}}\;\text{J} = 3{,}791 \cdot 10^{-15}\;\text{J}$

Umrechnung in $\text{eV}$:

$E' = \frac{3{,}791 \cdot 10^{-15}}{1{,}602 \cdot 10^{-19}}\;\text{eV} \approx 23{,}7\;\text{keV}$

Zum Vergleich — Energie des einfallenden Photons:

$E_0 = \frac{hc}{\lambda_0} = \frac{1{,}988 \cdot 10^{-25}}{50{,}0 \cdot 10^{-12}}\;\text{J} = 3{,}976 \cdot 10^{-15}\;\text{J} \approx 24{,}8\;\text{keV}$

Das Photon hat durch die Streuung etwa $1{,}1\;\text{keV}$ an das Rückstoßelektron abgegeben.

$\boxed{\lambda' = 52{,}4\;\text{pm}, \quad E' \approx 23{,}7\;\text{keV}}$

Schritt 4: Teilchencharakter und Abgrenzung vom Fotoeffekt (d)

Compton-Effekt als Beleg für den Teilchencharakter:

Der Compton-Effekt zeigt, dass Photonen sich wie Teilchen mit Energie und Impuls verhalten. Die Streuung wird vollständig durch die Gesetze der Energie- und Impulserhaltung für einen Zweiteilchenstoß beschrieben — genau wie bei der Kollision zweier Billardkugeln. Das klassische Wellenmodell kann die beobachtete Wellenlängenänderung nicht erklären, da bei klassischer Streuung (Thomson-Streuung) die Wellenlänge unverändert bliebe.

Abgrenzung vom Fotoeffekt:

Merkmal	Fotoeffekt	Compton-Effekt
Photon nach dem Stoß	vollständig absorbiert (verschwindet)	gestreut (existiert weiter mit weniger Energie)
Elektron	gebunden → herausgelöst	quasi-frei → Rückstoß
Energiebilanz	$E_{\text{Photon}} = W_A + E_{\text{kin}}$	$E_0 = E' + E_{\text{kin,e}}$
Beleg für	Quantelung der Energie ($E = hf$)	Teilchencharakter (Impuls $p = \frac{h}{\lambda}$)

Beim Fotoeffekt wird das Photon vollständig absorbiert, beim Compton-Effekt bleibt es als gestreutes Photon mit geringerer Energie erhalten. Der Compton-Effekt belegt zusätzlich die Impulsquantelung des Photons.

$\boxed{\text{Compton: Stoß mit Impulsübertrag; Fotoeffekt: vollständige Absorption}}$

Ergebnis

Frage	Antwort
Compton-Effekt	Photon-Elektron-Stoß: Wellenlänge nimmt zu, Elektron erhält Rückstoß
Wellenlängenänderung	$\Delta\lambda = 2{,}43\;\text{pm}$
Gestreutes Photon	$\lambda' = 52{,}4\;\text{pm}$, $E' \approx 23{,}7\;\text{keV}$
Teilchencharakter	Stoß mit Impulserhaltung; Fotoeffekt: Absorption, Compton: Streuung