Bohrsches Atommodell: Energieniveaus des Wasserstoffs

Aufgabenstellung

Die Energieniveaus des Wasserstoffatoms nach dem Bohrschen Atommodell lauten:

$E_n = -\frac{13{,}6\;\text{eV}}{n^2}$

(a) Berechnen Sie die Energien $E_1$ , $E_2$ , $E_3$ und $E_4$ und zeichnen Sie ein Energieniveauschema. (4 BE)
(b) Berechnen Sie die Wellenlänge des Photons, das beim Übergang $n = 3 \to n = 2$ (Balmer-Serie, $H_\alpha$ ) emittiert wird. (4 BE)
(c) Ein Wasserstoffatom im Grundzustand ( $n = 1$ ) wird mit einem Photon der Energie $12{,}5\;\text{eV}$ bestrahlt. Entscheiden Sie, ob dieses Photon absorbiert werden kann, und begründen Sie Ihre Antwort. (4 BE)
(d) Erklären Sie den Unterschied zwischen einem Emissions- und einem Absorptionsspektrum am Beispiel Wasserstoff und nennen Sie jeweils eine Beobachtungssituation. (3 BE)

Lösungsweg

Schritt 1: Energieniveaus berechnen (a)

Mit $E_n = -\frac{13{,}6\;\text{eV}}{n^2}$ :

$E_1 = -\frac{13{,}6\;\text{eV}}{1^2} = -13{,}6\;\text{eV}$

$E_2 = -\frac{13{,}6\;\text{eV}}{2^2} = -\frac{13{,}6}{4}\;\text{eV} = -3{,}4\;\text{eV}$

$E_3 = -\frac{13{,}6\;\text{eV}}{3^2} = -\frac{13{,}6}{9}\;\text{eV} \approx -1{,}51\;\text{eV}$

$E_4 = -\frac{13{,}6\;\text{eV}}{4^2} = -\frac{13{,}6}{16}\;\text{eV} = -0{,}85\;\text{eV}$

Energieniveauschema: Man zeichnet horizontale Linien bei den berechneten Energien auf einer vertikalen $E$ -Achse. Der Grundzustand $n = 1$ liegt am tiefsten ( $-13{,}6\;\text{eV}$ ), die höheren Niveaus rücken mit steigendem $n$ näher zusammen und nähern sich der Ionisierungsenergie $E = 0\;\text{eV}$ (freies Elektron).

$\boxed{E_1 = -13{,}6\;\text{eV}, \quad E_2 = -3{,}4\;\text{eV}, \quad E_3 = -1{,}51\;\text{eV}, \quad E_4 = -0{,}85\;\text{eV}}$

Schritt 2: Wellenlänge des $H_\alpha$ -Übergangs (b)

Beim Übergang $n = 3 \to n = 2$ wird ein Photon emittiert, dessen Energie der Differenz der Energieniveaus entspricht:

$\Delta E = E_3 - E_2 = (-1{,}51\;\text{eV}) - (-3{,}4\;\text{eV}) = 1{,}89\;\text{eV}$

Umrechnung in Joule:

$\Delta E = 1{,}89\;\text{eV} \cdot 1{,}602 \cdot 10^{-19}\;\frac{\text{J}}{\text{eV}} = 3{,}03 \cdot 10^{-19}\;\text{J}$

Mit $\Delta E = \frac{hc}{\lambda}$ folgt:

$\lambda = \frac{hc}{\Delta E} = \frac{6{,}626 \cdot 10^{-34}\;\text{J\,s} \cdot 3{,}0 \cdot 10^{8}\;\frac{\text{m}}{\text{s}}}{3{,}03 \cdot 10^{-19}\;\text{J}}$

$\lambda = \frac{1{,}988 \cdot 10^{-25}}{3{,}03 \cdot 10^{-19}}\;\text{m} = 6{,}56 \cdot 10^{-7}\;\text{m}$

$\lambda \approx 656\;\text{nm}$

Dies liegt im roten Bereich des sichtbaren Lichts und entspricht der charakteristischen $H_\alpha$ -Linie der Balmer-Serie.

$\boxed{\lambda \approx 656\;\text{nm} \quad (\text{rotes Licht, } H_\alpha\text{-Linie})}$

Schritt 3: Absorption eines $12{,}5\;\text{eV}$ -Photons (c)

Das Wasserstoffatom befindet sich im Grundzustand $n = 1$ mit $E_1 = -13{,}6\;\text{eV}$ .

Bei Absorption eines Photons der Energie $12{,}5\;\text{eV}$ würde das Atom in ein Niveau mit folgender Energie übergehen:

$E_{\text{end}} = E_1 + 12{,}5\;\text{eV} = -13{,}6\;\text{eV} + 12{,}5\;\text{eV} = -1{,}1\;\text{eV}$

Prüfung, ob $-1{,}1\;\text{eV}$ einem erlaubten Energieniveau entspricht:

$E_3 = -1{,}51\;\text{eV}$ → Übergang $1 \to 3$ erfordert $13{,}6 - 1{,}51 = 12{,}09\;\text{eV}$ ✗
$E_4 = -0{,}85\;\text{eV}$ → Übergang $1 \to 4$ erfordert $13{,}6 - 0{,}85 = 12{,}75\;\text{eV}$ ✗

Der Wert $-1{,}1\;\text{eV}$ liegt zwischen $E_3$ und $E_4$ und entspricht keinem erlaubten Energieniveau.

Entscheidung: Das Photon kann nicht absorbiert werden.

Begründung: Im Bohrschen Atommodell sind nur diskrete Energieniveaus erlaubt. Ein Photon kann nur dann absorbiert werden, wenn seine Energie exakt der Differenz zwischen zwei erlaubten Niveaus entspricht. Da $12{,}5\;\text{eV}$ keiner solchen Differenz vom Grundzustand entspricht, findet keine Absorption statt.

$\boxed{\text{Nein — } 12{,}5\;\text{eV} \text{ passt zu keinem erlaubten Übergang vom Grundzustand}}$

Schritt 4: Emissions- und Absorptionsspektrum (d)

Emissionsspektrum:

Entsteht, wenn angeregte Wasserstoffatome aus höheren Niveaus in tiefere Niveaus übergehen und dabei Photonen abgeben.
Es besteht aus einzelnen hellen Linien auf dunklem Hintergrund (Linienspektrum).
Beobachtungssituation: Gasentladungsröhre mit Wasserstoffgas — das leuchtende Gas wird durch ein Prisma oder Gitter beobachtet. Man sieht die Balmer-Serie als farbige Linien (rot, blaugrün, violett).

Absorptionsspektrum:

Entsteht, wenn weißes Licht (kontinuierliches Spektrum) durch kühles Wasserstoffgas geschickt wird. Die Atome absorbieren Photonen genau jener Wellenlängen, die den erlaubten Übergängen entsprechen.
Es besteht aus dunklen Linien (Fraunhofer-Linien) im ansonsten kontinuierlichen Spektrum.
Beobachtungssituation: Sonnenlicht — in der kühleren Sonnenatmosphäre absorbiert Wasserstoff bestimmte Wellenlängen. Im Sonnenspektrum erscheinen die Balmer-Linien als dunkle Absorptionslinien.

Zusammenhang: Die dunklen Linien im Absorptionsspektrum liegen bei exakt denselben Wellenlängen wie die hellen Linien im Emissionsspektrum.

$\boxed{\text{Emission: helle Linien (Gasentladung); Absorption: dunkle Linien (Sonnenspektrum)}}$

Ergebnis

Frage	Antwort
Energieniveaus	$E_1 = -13{,}6\;\text{eV}$ ; $E_2 = -3{,}4\;\text{eV}$ ; $E_3 = -1{,}51\;\text{eV}$ ; $E_4 = -0{,}85\;\text{eV}$
$H_\alpha$ -Wellenlänge	$\lambda \approx 656\;\text{nm}$ (rotes Licht)
$12{,}5\;\text{eV}$ -Photon	Keine Absorption — kein passendes Energieniveau
Spektrenvergleich	Emission: helle Linien; Absorption: dunkle Linien bei gleichen $\lambda$