Würfelexperiment: Wahrscheinlichkeit und Erwartungswert

Aufgabenstellung

Ein fairer Würfel wird zweimal geworfen.

(a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei keinem der beiden Würfe eine $4$ oder $5$ erscheint.
(b) Bei einem Glücksspiel wird ein fairer Würfel zweimal geworfen. Zeigt mindestens ein Wurf eine $6$ , erhält man $x$ Euro. Zeigt kein Wurf eine $6$ , zahlt man $5$ Euro. Bestimmen Sie $x$ so, dass das Spiel fair ist (Erwartungswert $= 0$ ).

Bei einem Wurf beträgt die Wahrscheinlichkeit, keine $4$ und keine $5$ zu würfeln:

$P(\text{keine } 4 \text{ oder } 5) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Bei zwei unabhängigen Würfen:

$P(\text{kein Wurf zeigt } 4 \text{ oder } 5) = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}$

$\boxed{P = \frac{4}{9} \approx 44{,}4\,\%}$

$P(\text{mind. eine } 6) = 1 - P(\text{keine } 6) = 1 - \left(\frac{5}{6}\right)^2 = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36}$

Erwartungswert:

$E = x \cdot \frac{11}{36} + (-5) \cdot \frac{25}{36} = 0$

$\frac{11x}{36} = \frac{125}{36}$

$x = \frac{125}{11}$

$\boxed{x = \frac{125}{11} \approx 11{,}36 \; \text{Euro}}$