Normalverteilung: Füllmenge und Qualitätskontrolle

Aufgabenstellung

Teil 1: Normalverteilung

Eine Abfüllanlage füllt Milch in Kartons ab. Auf den Kartons ist als Inhalt „$1000 \; \text{ml}$” aufgedruckt. Die tatsächliche Füllmenge $X$ (in ml) ist normalverteilt mit $\mu = 1005$ und $\sigma = 3$.

• (a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Karton weniger als $1000 \; \text{ml}$ enthält. (3 BE)
• (b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Füllmenge zwischen $999$ und $1011 \; \text{ml}$ liegt. (3 BE)
• (c) Bestimmen Sie das symmetrische Intervall $[\mu - c; \mu + c]$, in dem $95\,\%$ aller Füllmengen liegen. (4 BE)

Teil 2: Qualitätsbedingungen

Die Minusabweichung beträgt $15 \; \text{ml}$. Die Anlage darf ein Gütezeichen tragen, wenn:

• Bedingung I: $\mu \geq 1000$

• Bedingung II: $P(X \leq 1000 - 15) \leq 0{,}01$ (höchstens $1\,\%$ unter Minusabweichung)

• (d) Prüfen Sie, ob die aktuelle Anlage ($\mu = 1005$, $\sigma = 3$) beide Bedingungen erfüllt. (4 BE)

• (e) Eine zweite Anlage hat $\mu = 1002$ und unbekanntes $\sigma$. Bestimmen Sie den größtmöglichen Wert von $\sigma$, damit Bedingung II noch erfüllt ist. (6 BE)

Lösungsweg

Schritt 1: $P(X < 1000)$ (a)

Standardisierung: $Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{X - 1005}{3}$

$P(X < 1000) = P\!\left(Z < \frac{1000 - 1005}{3}\right) = P(Z < -1{,}667)$

$= \Phi(-1{,}667) \approx 0{,}0478$

$\boxed{P(X < 1000) \approx 4{,}8\,\%}$

Schritt 2: $P(999 \leq X \leq 1011)$ (b)

$P(999 \leq X \leq 1011) = \Phi\!\left(\frac{1011 - 1005}{3}\right) - \Phi\!\left(\frac{999 - 1005}{3}\right)$

$= \Phi(2) - \Phi(-2) = 0{,}9772 - 0{,}0228$

$\boxed{P(999 \leq X \leq 1011) \approx 0{,}9544 \approx 95{,}4\,\%}$

Das entspricht dem $\mu \pm 2\sigma$-Intervall ($2$-Sigma-Regel).

Schritt 3: 95%-Intervall (c)

$P(\mu - c \leq X \leq \mu + c) = 0{,}95$

$P\!\left(-\frac{c}{\sigma} \leq Z \leq \frac{c}{\sigma}\right) = 0{,}95$

Das $97{,}5\,\%$-Quantil der Standardnormalverteilung: $z_{0{,}975} = 1{,}96$

$\frac{c}{3} = 1{,}96 \quad \Rightarrow \quad c = 5{,}88$

$\boxed{95\,\%\text{-Intervall: } [1005 - 5{,}88;\; 1005 + 5{,}88] = [999{,}12;\; 1010{,}88]}$

Schritt 4: Qualitätsbedingungen prüfen (d)

Bedingung I: $\mu = 1005 \geq 1000$ ✓

Bedingung II: $P(X \leq 985)$

$P(X \leq 985) = \Phi\!\left(\frac{985 - 1005}{3}\right) = \Phi(-6{,}67) \approx 0$

$0 \ll 0{,}01$ ✓

$\boxed{\text{Beide Bedingungen sind erfüllt.}}$

Die Anlage übertrifft die Anforderungen deutlich, da die Minusabweichungsgrenze $985 \; \text{ml}$ mehr als $6$ Standardabweichungen unter dem Mittelwert liegt.

Schritt 5: Maximales $\sigma$ für zweite Anlage (e)

$\mu = 1002$, Bedingung II: $P(X \leq 985) \leq 0{,}01$

$P(X \leq 985) = \Phi\!\left(\frac{985 - 1002}{\sigma}\right) = \Phi\!\left(\frac{-17}{\sigma}\right) \leq 0{,}01$

Das $1\,\%$-Quantil: $\Phi(-2{,}326) = 0{,}01$

$\frac{-17}{\sigma} \leq -2{,}326$

$\frac{17}{\sigma} \geq 2{,}326$

$\sigma \leq \frac{17}{2{,}326} \approx 7{,}31$

$\boxed{\sigma_{\max} \approx 7{,}3 \; \text{ml}}$

Interpretation: Bei einer Standardabweichung von bis zu $7{,}3 \; \text{ml}$ befinden sich höchstens $1\,\%$ der Kartons mehr als $15 \; \text{ml}$ unter der aufgedruckten Füllmenge.

Ergebnis

Frage	Antwort
$P(X < 1000)$	$\approx 4{,}8\,\%$
$P(999 \leq X \leq 1011)$	$\approx 95{,}4\,\%$
$95\,\%$-Intervall	$[999{,}12;\; 1010{,}88]$
Bedingungen erfüllt	Ja, beide
Max. $\sigma$ (Anlage 2)	$\approx 7{,}3$ ml