Konfidenzintervall und Stichprobenumfang

Aufgabenstellung

Ein Unternehmen möchte den Anteil $p$ seiner Kunden ermitteln, die mit dem Service zufrieden sind. Dazu wird eine Stichprobe vom Umfang $n$ gezogen.

Das Konfidenzintervall zur Sicherheitswahrscheinlichkeit $1 - \alpha$ für den Anteil $p$ hat die Grenzen:

$\hat{p} - z \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \leq p \leq \hat{p} + z \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$

wobei $\hat{p}$ der Stichprobenanteil und $z = z_{1-\alpha/2}$ das zugehörige Quantil ist.

• (a) In einer Stichprobe von $n = 400$ Kunden geben $312$ an, zufrieden zu sein. Bestimmen Sie das Konfidenzintervall zur Sicherheitswahrscheinlichkeit $95\,\%$. (4 BE)
• (b) Beurteilen Sie, ob die Annahme $p = 0{,}75$ mit dem Stichprobenergebnis verträglich ist. (3 BE)
• (c) Das Unternehmen möchte, dass die Breite des $95\,\%$-Konfidenzintervalls höchstens $0{,}04$ beträgt (also $\pm 0{,}02$). Bestimmen Sie den dafür mindestens nötigen Stichprobenumfang, wenn $\hat{p} \approx 0{,}78$ erwartet wird. (4 BE)
• (d) Erläutern Sie, warum ein größerer Stichprobenumfang zu einem schmaleren Konfidenzintervall führt, und welche praktische Bedeutung das hat. (4 BE)

Lösungsweg

Schritt 1: Konfidenzintervall bestimmen (a)

$\hat{p} = \frac{312}{400} = 0{,}78$, $n = 400$, $z_{0{,}975} = 1{,}96$

$\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} = \sqrt{\frac{0{,}78 \cdot 0{,}22}{400}} = \sqrt{\frac{0{,}1716}{400}} = \sqrt{0{,}000429} \approx 0{,}0207$

Fehlerspanne: $1{,}96 \cdot 0{,}0207 \approx 0{,}0406$

Konfidenzintervall:

$[0{,}78 - 0{,}041;\; 0{,}78 + 0{,}041] = [0{,}739;\; 0{,}821]$

$\boxed{[0{,}739;\; 0{,}821] \text{ — mit } 95\,\% \text{ Sicherheit liegt } p \text{ in diesem Intervall}}$

Schritt 2: Verträglichkeit mit $p = 0{,}75$ (b)

$0{,}75 \in [0{,}739;\; 0{,}821]$

$\boxed{\text{Die Annahme } p = 0{,}75 \text{ ist mit dem Stichprobenergebnis verträglich.}}$

Der Wert $0{,}75$ liegt innerhalb des Konfidenzintervalls und kann daher nicht auf dem $5\,\%$-Niveau verworfen werden.

Schritt 3: Mindest-Stichprobenumfang (c)

Bedingung: Halbe Intervallbreite $\leq 0{,}02$

$z \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \leq 0{,}02$

$1{,}96 \cdot \sqrt{\frac{0{,}78 \cdot 0{,}22}{n}} \leq 0{,}02$

$\sqrt{\frac{0{,}1716}{n}} \leq \frac{0{,}02}{1{,}96} \approx 0{,}01020$

$\frac{0{,}1716}{n} \leq 0{,}0001041$

$n \geq \frac{0{,}1716}{0{,}0001041} \approx 1648{,}4$

$\boxed{n \geq 1649}$

Schritt 4: Erläuterung (d)

Die Breite des Konfidenzintervalls ist proportional zu $\frac{1}{\sqrt{n}}$. Bei Vervierfachung des Stichprobenumfangs halbiert sich die Intervallbreite.

Praktische Bedeutung:

• Ein schmaleres Intervall liefert eine präzisere Schätzung des wahren Anteils $p$.
• Allerdings steigen die Kosten der Datenerhebung mit $n$.
• Der abnehmende Grenznutzen ($\frac{1}{\sqrt{n}}$-Gesetz) bedeutet: Für eine doppelt so genaue Schätzung benötigt man die vierfache Stichprobe.

Ergebnis

Frage	Antwort
Konfidenzintervall	$[0{,}739;\; 0{,}821]$
$p = 0{,}75$ verträglich	Ja
Mindest-Stichprobenumfang	$n \geq 1649$
Intervallbreite	Proportional zu $\frac{1}{\sqrt{n}}$