Signifikanztest: Hypothese und Entscheidungsregel

Aufgabenstellung

Teil 1: Binomialverteilung und Baumdiagramm

Ein Online-Händler verschickt Pakete. Erfahrungsgemäß werden $85\,\%$ aller Pakete innerhalb von zwei Werktagen zugestellt. Von den rechtzeitig zugestellten Paketen werden $92\,\%$ positiv bewertet. Bei den verspätet zugestellten Paketen liegt dieser Anteil nur bei $60\,\%$.

• (a) Stellen Sie den Sachverhalt in einem geeigneten Baumdiagramm dar. (3 BE)
• (b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewähltes, positiv bewertetes Paket rechtzeitig zugestellt wurde. (3 BE)

Teil 2: Signifikanztest

Der Online-Händler führt eine Verbesserung des Versandprozesses durch und vermutet, dass dadurch der Anteil der rechtzeitig zugestellten Pakete gestiegen ist. Er plant einen Signifikanztest mit einem Signifikanzniveau von $5\,\%$ und der Nullhypothese: „Der Anteil der rechtzeitig zugestellten Pakete liegt bei höchstens $85\,\%$.”

• (c) Der Test wird auf der Grundlage einer Stichprobe von $400$ Paketen durchgeführt. Bestimmen Sie die zugehörige Entscheidungsregel. (5 BE)
• (d) In der Stichprobe werden $356$ rechtzeitig zugestellte Pakete gezählt. Entscheiden Sie, ob die Nullhypothese verworfen wird. (2 BE)

Teil 3: Normalverteilung

Die Lieferzeit der Pakete (in Stunden) ist normalverteilt mit dem Erwartungswert $\mu = 36$ und der Standardabweichung $\sigma = 8$.

• (e) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewähltes Paket eine Lieferzeit zwischen $28$ und $44$ Stunden hat. (3 BE)
• (f) Der Händler möchte eine Lieferzeitgarantie aussprechen. Die Garantiezeit soll so gewählt werden, dass mindestens $95\,\%$ aller Pakete innerhalb dieser Zeit ankommen. Bestimmen Sie die minimale Garantiezeit. (4 BE)

Lösungsweg

Schritt 1: Baumdiagramm (a)

Ereignisse:

• $R$: „Paket wird rechtzeitig zugestellt” ($P(R) = 0{,}85$)
• $B$: „Paket wird positiv bewertet”

Stufe 1	Stufe 2	Pfadwahrscheinlichkeit
$R$ (0,85)	$B$ (0,92)	$0{,}85 \cdot 0{,}92 = 0{,}782$
$R$ (0,85)	$\bar{B}$ (0,08)	$0{,}85 \cdot 0{,}08 = 0{,}068$
$\bar{R}$ (0,15)	$B$ (0,60)	$0{,}15 \cdot 0{,}60 = 0{,}090$
$\bar{R}$ (0,15)	$\bar{B}$ (0,40)	$0{,}15 \cdot 0{,}40 = 0{,}060$

Schritt 2: Bedingte Wahrscheinlichkeit (b)

$P(B) = 0{,}782 + 0{,}090 = 0{,}872$

$P_B(R) = \frac{P(R \cap B)}{P(B)} = \frac{0{,}782}{0{,}872}$

$\boxed{P_B(R) \approx 0{,}897 \approx 89{,}7\,\%}$

Etwa $89{,}7\,\%$ der positiv bewerteten Pakete wurden rechtzeitig zugestellt.

Schritt 3: Entscheidungsregel bestimmen (c)

$X$: Anzahl der rechtzeitig zugestellten Pakete in der Stichprobe.

$X$ ist binomialverteilt mit $n = 400$ und (unter $H_0$) $p = 0{,}85$.

Gesucht: kleinstes $k$ mit $P(X \geq k) \leq 0{,}05$ unter $H_0$.

Normalapproximation:

$\mu = n \cdot p = 400 \cdot 0{,}85 = 340$

$\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)} = \sqrt{400 \cdot 0{,}85 \cdot 0{,}15} = \sqrt{51} \approx 7{,}14$

Das $95\,\%$-Quantil der Standardnormalverteilung ist $z_{0{,}95} \approx 1{,}645$.

$k = \mu + z_{0{,}95} \cdot \sigma = 340 + 1{,}645 \cdot 7{,}14 \approx 340 + 11{,}74 = 351{,}74$

$\boxed{\text{Entscheidungsregel: } H_0 \text{ wird verworfen, wenn } X \geq 352.}$

Schritt 4: Entscheidung treffen (d)

In der Stichprobe: $X = 356$.

Da $356 \geq 352$:

$\boxed{\text{Die Nullhypothese wird verworfen.}}$

Das Ergebnis ist signifikant — es gibt Hinweise darauf, dass der Anteil rechtzeitig zugestellter Pakete tatsächlich gestiegen ist.

Schritt 5: Normalverteilung — Wahrscheinlichkeit (e)

$Y$: Lieferzeit in Stunden, $Y \sim N(36; 8^2)$

$P(28 \leq Y \leq 44) = P\!\left(\frac{28 - 36}{8} \leq Z \leq \frac{44 - 36}{8}\right) = P(-1 \leq Z \leq 1)$

$= \Phi(1) - \Phi(-1) = 0{,}8413 - 0{,}1587$

$\boxed{P(28 \leq Y \leq 44) \approx 0{,}6827 \approx 68{,}3\,\%}$

Dies entspricht der 68-95-99,7-Regel: Etwa $68{,}3\,\%$ der Werte liegen im Bereich $\mu \pm \sigma$.

Schritt 6: Garantiezeit bestimmen (f)

Gesucht: $t^*$ mit $P(Y \leq t^*) = 0{,}95$.

$P(Y \leq t^*) = \Phi\!\left(\frac{t^* - 36}{8}\right) = 0{,}95$

Das $95\,\%$-Quantil der Standardnormalverteilung: $z_{0{,}95} = 1{,}645$

$\frac{t^* - 36}{8} = 1{,}645$

$t^* = 36 + 1{,}645 \cdot 8 = 36 + 13{,}16 = 49{,}16$

$\boxed{t^* \approx 49{,}2 \text{ Stunden} \approx 2 \text{ Tage und } 1{,}2 \text{ Stunden}}$

Der Händler sollte eine Garantiezeit von mindestens 50 Stunden (aufgerundet) angeben, um sicherzustellen, dass mindestens $95\,\%$ aller Pakete innerhalb der Garantie ankommen.

Ergebnis

Frage	Antwort
$P_B(R)$	$\approx 89{,}7\,\%$
Entscheidungsregel	$H_0$ verwerfen bei $X \geq 352$
Entscheidung ($X = 356$)	$H_0$ wird verworfen
$P(28 \leq Y \leq 44)$	$\approx 68{,}3\,\%$
Garantiezeit ($95\,\%$)	$\approx 50$ Stunden