Geometrischer Körper: Quader mit Schnittebene

Aufgabenstellung

Ein Quader $ABCDEFGH$ hat die Eckpunkte $A(0|0|0)$, $B(6|0|0)$, $C(6|4|0)$, $D(0|4|0)$, $E(0|0|3)$, $F(6|0|3)$, $G(6|4|3)$, $H(0|4|3)$.

• (a) Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene $S$, die durch die Punkte $B$, $D$ und $E$ verläuft. (4 BE)
• (b) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks $BDE$. (4 BE)
• (c) Die Ebene $S$ teilt den Quader in zwei Teilkörper. Bestimmen Sie das Volumen des Teilkörpers, der den Punkt $A$ enthält. (6 BE)
• (d) Bestimmen Sie den Abstand des Punktes $G$ von der Ebene $S$. (3 BE)
• (e) Geben Sie eine Gleichung der Schnittgeraden der Ebene $S$ mit der Ebene $x_3 = 0$ (Grundfläche des Quaders) an. (3 BE)

Lösungsweg

Schritt 1: Ebenengleichung aufstellen (a)

Punkte: $B(6|0|0)$, $D(0|4|0)$, $E(0|0|3)$

Richtungsvektoren:

$\vec{BD} = D - B = \begin{pmatrix} -6 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \vec{BE} = E - B = \begin{pmatrix} -6 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}$

Normalenvektor $\vec{n} = \vec{BD} \times \vec{BE}$:

$\vec{n} = \begin{pmatrix} 4 \cdot 3 - 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot (-6) - (-6) \cdot 3 \\ (-6) \cdot 0 - 4 \cdot (-6) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 \\ 18 \\ 24 \end{pmatrix} = 6 \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}$

Ebenengleichung mit Aufpunkt $B(6|0|0)$:

$2(x_1 - 6) + 3x_2 + 4x_3 = 0$

$\boxed{S\colon 2x_1 + 3x_2 + 4x_3 = 12}$

Kontrolle: $B$: $12 + 0 + 0 = 12$ ✓, $D$: $0 + 12 + 0 = 12$ ✓, $E$: $0 + 0 + 12 = 12$ ✓

Schritt 2: Flächeninhalt des Dreiecks $BDE$ (b)

$A_{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot |\vec{BD} \times \vec{BE}|$

$|\vec{BD} \times \vec{BE}| = \left|\begin{pmatrix} 12 \\ 18 \\ 24 \end{pmatrix}\right| = \sqrt{144 + 324 + 576} = \sqrt{1044} = 6\sqrt{29}$

$\boxed{A_{\triangle} = 3\sqrt{29} \approx 16{,}16 \; \text{FE}}$

Schritt 3: Volumen des Teilkörpers mit $A$ (c)

Der Teilkörper, der $A$ enthält, ist eine dreiseitige Pyramide (Tetraeder) mit Spitze $A$ und Grundfläche $BDE$.

Die Ecke $A(0|0|0)$ liegt auf der Seite der Ebene mit $2 \cdot 0 + 3 \cdot 0 + 4 \cdot 0 = 0 < 12$.

Volumen des Tetraeders $ABDE$:

$V = \frac{1}{6} \cdot \left|(\vec{AB} \times \vec{AD}) \cdot \vec{AE}\right|$

$\vec{AB} = \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \vec{AD} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \vec{AE} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}$

$\vec{AB} \times \vec{AD} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 24 \end{pmatrix}$

$(\vec{AB} \times \vec{AD}) \cdot \vec{AE} = 24 \cdot 3 = 72$

$V_{\text{Tetraeder}} = \frac{1}{6} \cdot 72 = 12$

$\boxed{V = 12 \; \text{VE}}$

Kontrolle: Volumen des gesamten Quaders: $6 \cdot 4 \cdot 3 = 72$ VE. Der Tetraeder $ABDE$ hat $\frac{1}{6}$ des Quadervolumens. ✓

Schritt 4: Abstand von $G$ zur Ebene $S$ (d)

Mit der Hesseform der Ebene $S\colon 2x_1 + 3x_2 + 4x_3 = 12$ und $G(6|4|3)$:

$d = \frac{|2 \cdot 6 + 3 \cdot 4 + 4 \cdot 3 - 12|}{\sqrt{4 + 9 + 16}} = \frac{|12 + 12 + 12 - 12|}{\sqrt{29}} = \frac{24}{\sqrt{29}}$

$\boxed{d = \frac{24}{\sqrt{29}} = \frac{24\sqrt{29}}{29} \approx 4{,}46}$

Schritt 5: Schnittgerade mit Grundfläche (e)

Die Grundfläche hat die Gleichung $x_3 = 0$. Einsetzen in die Ebenengleichung:

$2x_1 + 3x_2 = 12$

Diese Gerade in der $x_1$-$x_2$-Ebene geht durch $B(6|0|0)$ und $D(0|4|0)$.

Parameterdarstellung mit Aufpunkt $B$ und Richtung $\vec{BD}$:

$\boxed{g\colon \vec{x} = \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad t \in \mathbb{R}}$

Dies ist die Diagonale $BD$ der Grundfläche.

Schritt 6: Zusammenfassung

Frage	Antwort
Ebenengleichung $S$	$2x_1 + 3x_2 + 4x_3 = 12$
Flächeninhalt $\triangle BDE$	$3\sqrt{29} \approx 16{,}16$ FE
Volumen Teilkörper mit $A$	$12$ VE
Abstand $G$ von $S$	$\frac{24}{\sqrt{29}} \approx 4{,}46$
Schnittgerade mit $x_3 = 0$	Diagonale $BD$: $2x_1 + 3x_2 = 12$