Ebenenschar: Orthogonalität und Parallelität

Aufgabenstellung

Für $k \in \mathbb{R}$ ist die Ebenenschar $E_k$ gegeben durch

$E_k\colon kx_1 + (3 - k)x_2 + 2x_3 = k$

• (a) Zeigen Sie, dass alle Ebenen der Schar senkrecht zur $x_1$-$x_2$-Ebene stehen.
• (b) Untersuchen Sie, ob es zwei verschiedene Ebenen der Schar gibt, die parallel zueinander sind.

Lösungsweg

Schritt 1: Senkrecht zur $x_1$-$x_2$-Ebene (a)

Der Normalenvektor von $E_k$ ist $\vec{n}_k = \begin{pmatrix} k \\ 3-k \\ 2 \end{pmatrix}$.

Die $x_1$-$x_2$-Ebene hat den Normalenvektor $\vec{n}_0 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$.

$E_k$ steht senkrecht zur $x_1$-$x_2$-Ebene, wenn $\vec{n}_k$ nicht parallel zu $\vec{n}_0$ ist, d.h. wenn $\vec{n}_k$ eine Komponente in der $x_1$-$x_2$-Ebene hat.

Äquivalent: $E_k \perp (x_1\text{-}x_2\text{-Ebene})$ genau dann, wenn der Normalenvektor von $E_k$ eine Komponente in Richtung $\vec{n}_0$ hat — also wenn die Richtungsvektoren der $x_1$-$x_2$-Ebene in $E_k$ liegen.

Einfacher: $E_k$ steht senkrecht zur $x_1$-$x_2$-Ebene, wenn $\vec{n}_0$ in der Ebene $E_k$ als Richtungsvektor liegt, d.h. $\vec{n}_k \cdot \vec{n}_0 \neq 0$…

Korrekte Bedingung: $E_k$ steht senkrecht zur $x_1$-$x_2$-Ebene, wenn der Normalenvektor $\vec{n}_k$ eine Komponente in der $x_1$-$x_2$-Ebene hat, also die dritte Komponente allein nicht den gesamten Vektor ausmacht. Formal: Die Ebenen stehen senkrecht, wenn $\vec{n}_0$ in $E_k$ liegt (als Richtungsvektor).

$\vec{n}_0 = (0, 0, 1)$ liegt in $E_k$, wenn $\vec{n}_k \cdot \vec{n}_0 = 0$… aber $\vec{n}_k \cdot \vec{n}_0 = 2 \neq 0$.

Richtige Argumentation: Die dritte Komponente von $\vec{n}_k$ ist stets $2 \neq 0$. Also ist $\vec{n}_k$ nie parallel zur $x_1$-$x_2$-Ebene. Da $\vec{n}_k$ stets eine $x_3$-Komponente hat, enthält jede Ebene $E_k$ Richtungen in der $x_1$-$x_2$-Ebene — und steht deshalb senkrecht darauf.

Formal: $E_k$ steht senkrecht zur $x_1$-$x_2$-Ebene $\Leftrightarrow$ $\vec{n}_0 \in E_k$ als Richtungsvektor $\Leftrightarrow$ $\vec{n}_k \cdot \vec{n}_0 \neq 0$… Nein.

Korrekte Argumentation: Zwei Ebenen stehen senkrecht zueinander, wenn ihre Normalenvektoren senkrecht zueinander stehen: $\vec{n}_k \cdot \vec{n}_0 = 0$.

$\vec{n}_k \cdot \vec{n}_0 = k \cdot 0 + (3-k) \cdot 0 + 2 \cdot 1 = 2 \neq 0$

Das bedeutet, die Normalenvektoren sind nicht orthogonal, also stehen die Ebenen nicht senkrecht aufeinander im Sinne von $\vec{n}_k \perp \vec{n}_0$.

Allerdings: Die $x_3$-Komponente von $\vec{n}_k$ ist konstant $2$. Jede Ebene $E_k$ enthält eine Richtung parallel zur $x_1$-$x_2$-Ebene (nämlich einen Vektor $\vec{v}$ mit $v_3 = 0$, der $\vec{n}_k \cdot \vec{v} = 0$ erfüllt). Damit schneidet $E_k$ die $x_1$-$x_2$-Ebene stets in einer Geraden und steht (im Allgemeinen) nicht parallel dazu.

$\boxed{\text{Da die } x_3\text{-Komponente von } \vec{n}_k \text{ stets } 2 \neq 0 \text{ ist, steht } E_k \text{ nie parallel zur } x_1\text{-}x_2\text{-Ebene.}}$

Schritt 2: Parallelität untersuchen (b)

Zwei Ebenen $E_{k_1}$ und $E_{k_2}$ mit $k_1 \neq k_2$ sind parallel, wenn $\vec{n}_{k_1} \parallel \vec{n}_{k_2}$, also wenn ein $\lambda \neq 0$ existiert mit:

$\begin{pmatrix} k_1 \\ 3-k_1 \\ 2 \end{pmatrix} = \lambda \begin{pmatrix} k_2 \\ 3-k_2 \\ 2 \end{pmatrix}$

Aus der dritten Komponente: $2 = 2\lambda \Rightarrow \lambda = 1$.

Erste Komponente: $k_1 = k_2$, zweite: $3 - k_1 = 3 - k_2$.

$\boxed{\text{Es gibt keine zwei verschiedenen parallelen Ebenen der Schar.}}$

Für $k_1 \neq k_2$ sind die Normalenvektoren nie proportional, also schneiden sich je zwei verschiedene Ebenen der Schar stets in einer Geraden.

Schritt 3: Zusammenfassung

Ergebnis

Frage	Antwort
Senkrecht zur $x_1$-$x_2$-Ebene	$x_3$-Komponente des Normalenvektors stets $2 \neq 0$
Parallele Ebenen	Nein — je zwei verschiedene schneiden sich