Binomialverteilung: Parameter und Erwartungswert

Aufgabenstellung

Die Zufallsgröße $X$ ist binomialverteilt. Es gilt $P(X = 1) = 12 \cdot P(X = 0)$ und $E(X) = 8$.

• (a) Bestimmen Sie die Parameter $n$ und $p$ der Binomialverteilung.
• (b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit $P(X \geq 2)$.

Lösungsweg

Schritt 1: Gleichungssystem aufstellen (a)

Für eine binomialverteilte Zufallsgröße gilt:

$P(X = 0) = (1 - p)^n, \quad P(X = 1) = n \cdot p \cdot (1 - p)^{n-1}$

Aus $P(X = 1) = 12 \cdot P(X = 0)$:

$n \cdot p \cdot (1 - p)^{n-1} = 12 \cdot (1 - p)^n$

Dividieren durch $(1 - p)^{n-1}$ (da $0 < p < 1$, ist $(1-p)^{n-1} > 0$):

$n \cdot p = 12 \cdot (1 - p)$

Aus $E(X) = n \cdot p = 8$:

$8 = 12 \cdot (1 - p)$

$1 - p = \frac{2}{3} \quad \Rightarrow \quad p = \frac{1}{3}$

$n = \frac{8}{p} = \frac{8}{\frac{1}{3}} = 24$

$\boxed{n = 24, \quad p = \frac{1}{3}}$

Schritt 2: Kontrolle

$P(X = 0) = \left(\frac{2}{3}\right)^{24} \approx 0{,}000059$

$P(X = 1) = 24 \cdot \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{23} = 8 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{23} \approx 0{,}000709$

$\frac{P(X=1)}{P(X=0)} = \frac{8 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{23}}{\left(\frac{2}{3}\right)^{24}} = 8 \cdot \frac{3}{2} = 12$ ✓

Schritt 3: $P(X \geq 2)$ berechnen (b)

$P(X \geq 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1)$

$P(X \geq 2) = 1 - \left(\frac{2}{3}\right)^{24} - 8 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{23}$

$= 1 - \left(\frac{2}{3}\right)^{23} \cdot \left(\frac{2}{3} + 8\right) = 1 - \frac{26}{3} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{23}$

Numerisch:

$\left(\frac{2}{3}\right)^{23} \approx 0{,}0000887$

$P(X \geq 2) \approx 1 - \frac{26}{3} \cdot 0{,}0000887 \approx 1 - 0{,}000768$

$\boxed{P(X \geq 2) \approx 0{,}9992 \approx 99{,}9\,\%}$

Ergebnis

Frage	Antwort
Parameter	$n = 24$, $p = \frac{1}{3}$
$P(X \geq 2)$	$\approx 0{,}9992$ ($99{,}9\,\%$)